Question

Найдите предел последовательности {xn}, заданной следующим образом: x1=2, xn+1=1+1/xn. Если предел последовательности равен a, укажите в ответе величину ⌊2a⌋, где ⌊x⌋ — целая часть числа xx (наибольшее целое число, не превосходящее x). Если последовательность не сходится, укажите в ответе −1.

Answer 1

Исследуем разность последовательных членов 

$x_{n+1}- x_{n}=1+ \frac{1}{ x_{n} } - x_{n} = \frac{ x_{n}+1- x_{n} ^{2} }{ x _{n} }$

положительный корень числителя (квадратное уравнение)

$x= \frac{1+ \sqrt{5} }{2}$

это и есть предел последовательности, причем можно заметить, что последовательность колеблется вокруг этого значения

иллюстрация к этой последовательности

Answer 2

Изначально дано, что x1=2, xn+1=1+1/xn.

Для начала найдем предел последовательности {xn}. Для этого предположим, что предел существует и обозначим его за a. Тогда, при n→∞, xn→a и xn+1→a.

Используя заданное условие, можно записать: a=1+1/a a^2=a+1 a^2-a-1=0 D=1+4=5 a=(1±√5)/2

Так как a должно быть положительным числом, то a=(1+√5)/2≈1.618.

Теперь найдем величину ⌊2a⌋. Умножая a на 2, получим приблизительно 3.236, а целая часть этого числа равна 3.

Итак, величина ⌊2a⌋ равна 3.

Таким образом, предел последовательности равен a≈1.618, а величина ⌊2a⌋ равна 3.