Question

Решите уравнение: cos^2x+cosx=-sin^2x

Answer 1

Cos²x+cosx=-sin²x
(cos²x+sin²x)+cosx=0
1+cosx=0
cosx=-1
x=π+2πn, n∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнение cos^2(x) + cos(x) = -sin^2(x) подробно.

Шаг 1: Перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества, чтобы выразить cos(x) и sin(x) через одну из них. Мы можем воспользоваться тождеством Pythagorean sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы выразить sin^2(x) через cos^2(x) и наоборот:

cos^2(x) + cos(x) = -sin^2(x) cos^2(x) + cos(x) = - (1 - cos^2(x)) (используем тождество Pythagorean sin^2(x) = 1 - cos^2(x)) cos^2(x) + cos(x) = -1 + cos^2(x) 2cos^2(x) + cos(x) + 1 = 0 (переносим все в левую часть)

Шаг 2: Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 2, b = 1 и c = 1. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение.

Для решения квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Применяя эту формулу к нашему уравнению, получим:

x = (-(1) ± √((1)^2 - 4(2)(1))) / (2(2)) x = (-1 ± √(1 - 8)) / 4 x = (-1 ± √(-7)) / 4

Шаг 3: Корень из отрицательного числа не имеет действительных значений в обычной системе чисел. Это означает, что уравнение cos^2(x) + cos(x) = -sin^2(x) не имеет решений в действительных числах.

Однако, если мы рассмотрим комплексные числа, то у нас будут два решения:

x = (-1 ± i√(7)) / 4

где i - мнимая единица.

Таким образом, решения уравнения cos^2(x) + cos(x) = -sin^2(x) в комплексных числах будут x = (-1 + i√(7)) / 4 и x = (-1 - i√(7)) / 4.

Пожалуйста, обратите внимание, что эти решения в комплексных числах и могут быть использованы только в контексте комплексного анализа или других областей математики, где комплексные числа применимы.