Question

Дана бесконечно спадающая геометрическая прогрессия в которой первый член равен 3, а дискриминант равен 1/3. Найти сумму её членов с непарными номерами.

Answer 1

Члены с непарными номерами - это две геометрические прогрессии, у которых частное 1/9, а первый член либо 3 либо 1. сумма членов для  "бесконечно спадающей геометрической прогрессии" - $S= \frac{b_1}{1-q}$. сумма первой гп = 27/8, сумма второй = 9/8.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся с бесконечно спадающей геометрической прогрессией и найдем сумму её членов с непарными номерами.

Бесконечно спадающая геометрическая прогрессия

Бесконечно спадающая геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый последующий член прогрессии получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

Если первый член прогрессии обозначить как \(a_1\), а знаменатель как \(q\), то \(n\)-й член прогрессии выражается формулой: \[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]

Решение

У нас дана бесконечно спадающая геометрическая прогрессия, в которой первый член \(a_1\) равен 3, а дискриминант \(q\) равен \(\frac{1}{3}\).

Для нахождения суммы членов с непарными номерами воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[S = \frac{a_1}{1 - q} - \frac{a_3 q^2}{1 - q^2}\]

Здесь \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии.

Выразим \(a_3\) через \(a_1\) и \(q\): \[a_3 = a_1 \cdot q^2\]

Теперь мы можем подставить значения \(a_1 = 3\) и \(q = \frac{1}{3}\) в формулу суммы, чтобы найти сумму членов с непарными номерами.

Ответ

\[S = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}\]

\[S = \frac{3}{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot \frac{1}{9}}{1 - \frac{1}{9}}\]

\[S = 3 \cdot \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{8}\]

\[S = \frac{9}{2} - \frac{1}{8} = \frac{36 - 1}{8} = \frac{35}{8}\]

Таким образом, сумма членов бесконечно спадающей геометрической прогрессии с непарными номерами равна \(\frac{35}{8}\).