Question

Доказать sh^2x-ch^2x=1

Answer 1

$sh^2x-ch^2x= (\frac{e^x-e^{-x}}{2})^2 -(\frac{e^x+e^{-x}}{2} )^2$$= \frac{e^{2x}-2e^x*e^{-x}+e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x}+2e^x*e^{-x}+e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x}-2+e^{-2x}-e^{2x}-2-e^{-2x}}{4} = \frac{-4}{4}$$=-1$. Значит, неравенство, написанное в условии, неверно, и доказать его невозможно. Можно только опровергнуть. Уточните условие задачи.

Answer 2

Для доказательства равенства sh^2x - ch^2x = 1 воспользуемся определениями гиперболических функций.

Начнем с определений: sh(x) = (e^x - e^(-x))/2, ch(x) = (e^x + e^(-x))/2.

Теперь возведем обе части равенства sh^2x - ch^2x = 1 в квадрат: (sh^2x)^2 - 2*sh^2x*ch^2x + (ch^2x)^2 = 1.

Теперь представим sh^2x и ch^2x через их определения: ((e^(2x) - e^(-2x))/2)^2 - 2*((e^(2x) - e^(-2x))/2)*((e^(2x) + e^(-2x))/2) + ((e^(2x) + e^(-2x))/2)^2 = 1.

Упростим каждое слагаемое: (e^(4x) - 2 + e^(-4x))/4 - 2*((e^(2x) - e^(-2x))^2)/4 + (e^(4x) + 2 + e^(-4x))/4 = 1.

Теперь объединим все слагаемые: (e^(4x) - 2 + e^(-4x) - 2*(e^(4x) - 2 + 2*e^(2x)*e^(-2x) - 2*e^(2x) - 2*e^(-2x) + 2) + e^(4x) + 2 + e^(-4x))/4 = 1.

Раскроем скобки и упростим: (e^(4x) - 2 + e^(-4x) - 2*e^(4x) + 4 - 4 + 2 - 2*e^(2x) - 2*e^(-2x) + e^(4x) + 2 + e^(-4x))/4 = 1.

Теперь сократим подобные слагаемые: (-2 - 2*e^(4x) - 2*e^(-4x) - 2*e^(2x) - 2*e^(-2x) + e^(4x) + 2 + e^(-4x))/4 = 1.

Упростим числитель: (-2 - 2*e^(4x) - e^(4x) + 2 - 2*e^(-4x) + e^(-4x) - 2*e^(2x) - 2*e^(-2x))/4 = 1.

Просуммируем числитель: (-3 - 2*e^(4x) - e^(-4x) - 2*e^(2x) - 2*e^(-2x))/4 = 1.

Теперь умножим обе части уравнения на 4: -3 - 2*e^(4x) - e^(-4x) - 2*e^(2x) - 2*e^(-2x) = 4.

Прибавим 3 ко всему выражению: - 2*e^(4x) - e^(-4x) - 2*e^(2x) - 2*e^(-2x) = 7.

Теперь поделим обе части на -1: 2*e^(4x) + e^(-4x) + 2*e^(2x) + 2*e^(-2x) = -7.

Применим замену e^(2x) = y: 2*y^2 + 1/y^2 + 2*y + 2/y = -7.

Умножим обе части на y^2: 2*y^4 + 1 + 2*y^3 + 2*y^2 = -7*y^2.

Преобразуем уравнение: 2*y^4 + 2*y^3 + 2*y^2 + 7*y^2 + 1 = 0, 2*y^4 + 2*y^3 + 9*y^2 + 1 = 0.

Теперь вспомним, что y = e^(2x), подставим обратно: 2*(e^(2x))^4 + 2*(e^(2x))^3 + 9*(e^(2x))^2 + 1 = 0, 2*e^(4x) + 2*e^(3x) + 9*e^(2x) + 1 = 0.

Таким образом, мы получили квадратное уравнение относительно e^(2x), которое не имеет решения, так как его дискриминант отрицателен. Следовательно, исходное равенство sh^2x - ch^2x = 1 неверно.