Question

Найти cos4x, если cosx+sinx=0,5

Answer 1

$cos x+sin x=0.5;\\ (cos x+sin x)^2=0.5^2;\\ cos^2 x+2sin x cos x+sin^2 x=0.25;\\ 1+sin (2x)=0.25;\\ sin (2x)=-0.75;\\ sin^2 (2x)=(-0.75)^2=0.5625;\\ cos^2 (2x)=1-sin^2 (2x)=1-0.5625=0.4375;\\ cos (4x)=2cos^2 (2x)-1=2*0.4375-1=1.75$

Answer 2

Чтобы найти значение cos(4x), если cos(x)sin(x) = 0.5, мы можем использовать тригонометрические идентичности и заменить cos(4x) в терминах cos(x) и sin(x).

Известно, что cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 и sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Мы можем использовать эти идентичности для нахождения cos(4x).

Для этого мы начнем с идентичности cos(4x) = cos(2(2x)). Заменим 2x на a, чтобы получить cos(4x) = cos(2a).

Затем мы можем использовать идентичность cos(2a) = 2cos^2(a) - 1. Теперь заменим a на x, чтобы получить cos(4x) = 2cos^2(x) - 1.

Из условия задачи известно, что cos(x)sin(x) = 0.5. Мы можем использовать это уравнение для нахождения значения cos^2(x).

Известно, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Мы можем поделить обе стороны на cos^2(x), чтобы получить:

sin^2(x)/cos^2(x) + cos^2(x)/cos^2(x) = 1/cos^2(x)

Так как sin(x)/cos(x) = tan(x), мы можем заменить левую сторону уравнения:

tan^2(x) + 1 = 1/cos^2(x)

Теперь мы можем заменить 1/cos^2(x) на 4 (так как cos^2(x)sin^2(x) = 0.5^2 = 0.25):

tan^2(x) + 1 = 4

Перенесем 4 на другую сторону уравнения:

tan^2(x) = 3

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

tan(x) = ±√3

Теперь мы можем использовать значение tan(x) для нахождения значения cos(x). Так как sin(x)/cos(x) = tan(x), мы можем записать:

sin(x)/cos(x) = ±√3

Так как cos(x)sin(x) = 0.5, мы можем записать:

±√3 * cos(x) = 0.5

Теперь разделим обе стороны на ±√3:

cos(x) = 0.5/±√3

Теперь мы можем использовать это значение cos(x) в идентичности cos(4x) = 2cos^2(x) - 1 для нахождения значения cos(4x).

cos(4x) = 2(0.5/±√3)^2 - 1

Упрощая это выражение, получаем:

cos(4x) = 0.25/3 ± 1

Таким образом, мы найдем два возможных значения cos(4x): 0.25/3 + 1 и 0.25/3 - 1.