Question

СРОЧНО!!! Петя задумал некоторое натуральное число n и выписал на доску все его натуральные делители, кроме 1 и n. Таких делителей оказалось больше одного. Более того, умный Петя заметил, что для любых двух различных чисел a и b, написанных на доске, число n делится на a − b. Какое число мог задумать Петя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Answer 1

Например, число 12. Делители, кроме 1 и 12: 2, 3, 4, 6.
Разность любых двух: 3-2,4-2,6-2,4-3,6-3,6-4, является делителем 12.
Но вот найти все варианты уже затруднительно.
Например, 12*2=24. Делители: 2, 3, 4, 6, 8, 12 - уже не подходит.
12-2 = 10 - не делитель 24.

Answer 2

Петя мог задумать число 6.

Чтобы доказать это, рассмотрим все возможные варианты для чисел a и b, написанных на доске. Поскольку число n делится на a - b для любых двух различных чисел a и b, написанных на доске, мы можем рассмотреть все возможные комбинации делителей числа 6, кроме 1 и 6.

Делители числа 6, кроме 1 и 6, это 2, 3 и 4. Рассмотрим все возможные комбинации:

1. a = 2, b = 3: 6 делится на 2 - 3 = -1. 2. a = 2, b = 4: 6 делится на 2 - 4 = -2. 3. a = 3, b = 2: 6 делится на 3 - 2 = 1. 4. a = 3, b = 4: 6 делится на 3 - 4 = -1. 5. a = 4, b = 2: 6 делится на 4 - 2 = 2. 6. a = 4, b = 3: 6 делится на 4 - 3 = 1.

Таким образом, для всех возможных комбинаций чисел a и b, число 6 делится на a - b. Это подтверждает, что Петя мог задумать число 6.

Других вариантов, удовлетворяющих условию задачи, нет.