Question

Найти определенный интеграл от 1/4 до 5/4 от dx/корень из 4x-1

Answer 1

Возьмем  1/V4x-1   как   u=4x-1    du=4dx
1/4S(1/Vu) du=1/4*2Vu=1/2Vu+ const
S=1/2(V4x-1) + const=1/2((V(5/4*4)-1)-(V(1/4*4 -1))=1/2(2-0)1/2*2=1
под знаком S написать 1/4  сверху   5/4 

Answer 2

Для нахождения данного определенного интеграла воспользуемся методом замены переменной.

Замена переменной:

Пусть \( u = \sqrt{4x - 1} \). Тогда \( du = \frac{1}{2\sqrt{4x - 1}}dx \), и, следовательно, \( dx = 2u du \).

Подстановка:

Подставим \( u = \sqrt{4x - 1} \) в интеграл: \[ \int_{1/4}^{5/4} \frac{dx}{\sqrt{4x - 1}} = \int_{?}^{?} 2u du \]

Обратимся к пределам интегрирования. Когда \( x = 1/4 \), \( u = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{4} - 1} = \sqrt{1 - 1} = 0 \). Когда \( x = 5/4 \), \( u = \sqrt{4 \cdot \frac{5}{4} - 1} = \sqrt{5 - 1} = 2 \).

Теперь мы можем записать наш интеграл в виде: \[ \int_{0}^{2} 2u du \]

Решение интеграла:

Теперь мы можем проинтегрировать \( 2u \) по переменной \( u \): \[ \int_{0}^{2} 2u du = [u^2]_{0}^{2} = 2^2 - 0^2 = 4 \]

Ответ:

Таким образом, определенный интеграл от \( \frac{1}{\sqrt{4x - 1}} \) по переменной \( x \) от \( \frac{1}{4} \) до \( \frac{5}{4} \) равен 4.