Question

Найдите экстремумы функции f(x)=2x^2-3x+1f(x)=x^2-2x+3/4

Answer 1

Это параболы => экстренум вершина - b/2a
А) 3/2^2 = 3/4 у = - 1/8
(3/4; - 1/8)
В) 2/2 = 1 у = 1/4
(1; 1/4)

Answer 2

Поиск экстремумов функции

Для поиска экстремумов функции нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Экстремумы могут быть минимумами или максимумами, в зависимости от вида функции.

Функция f(x) = 2x^2 - 3x + 1

Для начала, найдем производную функции f(x) = 2x^2 - 3x + 1. Производная функции показывает скорость изменения функции и может помочь найти точки экстремума.

1. Найдем производную функции:

Функция: f(x) = 2x^2 - 3x + 1

Производная функции: f'(x) = 4x - 3

2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки экстремума:

4x - 3 = 0

4x = 3

x = 3/4

Таким образом, точка x = 3/4 является кандидатом на экстремум.

3. Проверим, является ли найденная точка экстремумом:

Чтобы определить, является ли точка экстремумом, нужно проанализировать знаки производной в окрестности этой точки.

- Если производная меняет знак с "плюс" на "минус", то это может быть максимум. - Если производная меняет знак с "минус" на "плюс", то это может быть минимум. - Если производная не меняет знак, то это не является экстремумом.

4. Анализируем знаки производной:

Для производной f'(x) = 4x - 3, знаки производной можно определить, подставив значения x из интервалов, которые окружают кандидата на экстремум (x = 3/4).

- Подставим x = 0: f'(0) = 4(0) - 3 = -3 (отрицательное значение). - Подставим x = 1: f'(1) = 4(1) - 3 = 1 (положительное значение).

Знак производной меняется с "минус" на "плюс" при x = 3/4, что означает, что точка x = 3/4 является локальным минимумом функции f(x) = 2x^2 - 3x + 1.

Функция f(x) = x^2 - 2x + 3/4

Перейдем к рассмотрению второй функции f(x) = x^2 - 2x + 3/4.

1. Найдем производную функции:

Функция: f(x) = x^2 - 2x + 3/4

Производная функции: f'(x) = 2x - 2

2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки экстремума:

2x - 2 = 0

2x = 2

x = 1

Таким образом, точка x = 1 является кандидатом на экстремум.

3. Проверим, является ли найденная точка экстремумом:

Аналогично предыдущему случаю, проанализируем знаки производной в окрестности точки x = 1.

- Подставим x = 0: f'(0) = 2(0) - 2 = -2 (отрицательное значение). - Подставим x = 2: f'(2) = 2(2) - 2 = 2 (положительное значение).

Знак производной меняется с "минус" на "плюс" при x = 1, что означает, что точка x = 1 является локальным минимумом функции f(x) = x^2 - 2x + 3/4.

Вывод

Таким образом, функция f(x) = 2x^2 - 3x + 1 имеет локальный минимум в точке x = 3/4, а функция f(x) = x^2 - 2x + 3/4 также имеет локальный минимум в точке x = 1.