Question

Решите уравнение 2x^4+12x^3+11x^2+6x+5=0 если один его корень равен -1

Answer 1

2x^4 + 12x^3 + 11x^2 + 6x + 5 = 0
2x^4 + 2x^3 + 10x^3 + 10x^2 + x^2 + x + 5x + 5 = 0
(x + 1)(2x^3 + 10x^2 + x + 5) = 0
x1 = -1
2x^2(x + 5) + 1(x + 5) = 0
(x + 5)(2x^2 + 1) = 0
x2 = -5
2x^2 + 1 = 0 - действительных корней не имеет

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем использовать метод деления синтетическими полиномами или метод подстановки. Давайте решим его с помощью метода подстановки.

Мы знаем, что один корень уравнения равен -1. Это означает, что (x + 1) является множителем уравнения. Давайте подставим -1 в уравнение и упростим его:

2(-1)^4 + 12(-1)^3 + 11(-1)^2 + 6(-1) + 5 = 0 2(1) + 12(-1) + 11(1) - 6 + 5 = 0 2 - 12 + 11 - 6 + 5 = 0 0 = 0

Когда мы подставили -1 в уравнение, получили ноль. Это означает, что (x + 1) является множителем уравнения.

Теперь мы можем разделить исходное уравнение на (x + 1) с помощью деления синтетическими полиномами или долгим делением, чтобы найти другие множители и решить уравнение полностью. Я воспользуюсь делением синтетическими полиномами для этого примера.

Решение с помощью деления синтетическими полиномами:

-1 | 2 12 11 6 5 | -2 -10 -1 -5 --------------------- 2 10 10 1 0

Полученный квадратный трехчлен 2x^3 + 10x^2 + 10x + 1 можно факторизовать путем дальнейшего решения уравнения. Однако, для этого квадратного трехчлена не существует рациональных корней. Таким образом, мы не можем найти дополнительные корни с помощью метода подстановки.

В итоге, уравнение 2x^4 + 12x^3 + 11x^2 + 6x + 5 = 0 имеет один корень x = -1, однако другие корни могут быть найдены только с использованием численных методов или графического метода.