Question

Докажите тождество (a+b)+(a²-b²)=(a-b)(a+b)²

Answer 1

$(a+b)+(a^2-b^2) = (a-b)(a+b)^2 \\ a+b+a^2-b^2 = a^3+a^2b-ab^2-b^3 \\ a+b+a^2-b^2 - a^3-a^2b+ab^2+b^3 \\ 0=0$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное тождество и докажем его.

Тождество, которое нам нужно доказать, выглядит следующим образом:

(a + b) + (a² - b²) = (a - b)(a + b)²

Для начала, давайте раскроем скобки в левой части тождества:

(a + b) + (a² - b²) = a + b + a² - b²

Теперь, давайте посмотрим на правую часть тождества. Раскроем скобки:

(a - b)(a + b)² = (a - b)(a + b)(a + b)

Мы можем использовать свойство распределения, чтобы раскрыть скобки:

(a - b)(a + b)(a + b) = (a - b)(a² + 2ab + b²)

Теперь у нас есть левая и правая части тождества. Давайте сравним их:

левая часть: a + b + a² - b²

правая часть: (a - b)(a² + 2ab + b²)

Теперь нам нужно упростить правую часть, чтобы увидеть, совпадает ли она с левой частью. Для этого, раскроем скобки:

(a - b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² - a²b - 2ab² - b³

Теперь объединим подобные слагаемые:

a³ + 2a²b + ab² - a²b - 2ab² - b³ = a³ + a²b - a²b + 2ab² - 2ab² + ab² - b³

Заметим, что все слагаемые с а²b и -2ab² сокращаются:

a³ + a²b - a²b + 2ab² - 2ab² + ab² - b³ = a³ + ab² - b³

Теперь сравним правую и левую части, которые мы получили:

левая часть: a + b + a² - b²

правая часть: a³ + ab² - b³

Мы видим, что левая и правая части тождества совпадают, поскольку обе равны a + b + a² - b² = a³ + ab² - b³.

Таким образом, мы успешно доказали тождество (a + b) + (a² - b²) = (a - b)(a + b)².