Question

Докажите тождество sin (α+β) + sin (α-β) = 2 sin α cos β

Answer 1

sin(α+β) = sin(α)∙cos(β) + cos(α)∙sin(β)
sin(α-β) = sin(α)∙cos(β) - cos(α)∙sin(β)
sin(α+β) + sin(α-β) = (sin(α)∙cos(β) + cos(α)∙sin(β)) + (sin(α)∙cos(β) - cos(α)∙sin(β))
sin(α+β) - sin(α-β) = 2∙sin(α)∙cos(β)

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой сложения синусов:

sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ

sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ

Теперь найдем сумму sin(α + β) и sin(α - β):

sin(α + β) + sin(α - β) = (sinα * cosβ + cosα * sinβ) + (sinα * cosβ - cosα * sinβ)

= sinα * cosβ + cosα * sinβ + sinα * cosβ - cosα * sinβ

= 2 * sinα * cosβ

Таким образом, мы получили, что sin(α + β) + sin(α - β) = 2 * sinα * cosβ, что и требовалось доказать.