Question

доказать тождество (tgx-ctgx)tg2x=-2

Answer 1

tgx*tg2x-ctgx*tg2x=sinxsin2x/cosxcos2x-cosxsin2x/sinxcos2x - приводим дроби к общему знаменателю:

(sin^2xsin2x-cos^2xsin2x)/sinxcosxcos2x - вынесем sin2x за скобку и представим cos2x=cos^2x-sin^2x:

2sinxcosx(sin^2x-cos^2x)/sinxcosx(cos^2x-sin^2x) - сокращаем на sinxcosx:

2(sin^2x-cos^2x)/(cos^2x-sin^2x) - из любой скобки выносим -1, после этого скобки сократятся и останется -2.

Это тождество справедливо для всех икс, кроме x=п/4 - при таком значении выражение слева будет неопределенно! (ноль*бесконечность).

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать тригонометрические тождества и математические операции. Давайте разложим каждую часть уравнения и докажем, что они равны друг другу.

Итак, у нас есть тождество: (tg(x) - ctg(x)) * tg^2(x) = -2.

Разложение левой части уравнения

Давайте начнем с разложения левой части уравнения. Мы знаем, что tg(x) = sin(x)/cos(x) и ctg(x) = cos(x)/sin(x). Также, мы можем использовать тождество tg^2(x) = 1 - cos^2(x)/sin^2(x).

Подставим эти выражения в левую часть уравнения:

(tg(x) - ctg(x)) * tg^2(x) = (sin(x)/cos(x) - cos(x)/sin(x)) * (1 - cos^2(x)/sin^2(x))

Упрощение левой части уравнения

Чтобы упростить это выражение, давайте найдем общий знаменатель и объединим числители:

(tg(x) - ctg(x)) * tg^2(x) = (sin^2(x)/cos(x) - cos^2(x)/sin(x)) * (1 - cos^2(x)/sin^2(x))

Теперь у нас есть общий знаменатель sin^2(x)*cos(x)*sin^2(x). Умножим числители и раскроем скобки:

(tg(x) - ctg(x)) * tg^2(x) = (sin^4(x) - cos^3(x)*sin^2(x) - cos^2(x) + cos^4(x)) / (sin^2(x)*cos(x)*sin^2(x))

Упрощение правой части уравнения

Теперь давайте упростим правую часть уравнения. У нас есть -2, что можно записать как -2/1. Таким образом, правая часть уравнения -2/1.

Доказательство

Теперь, чтобы доказать, что левая часть равна правой, нам нужно упростить левую часть и убедиться, что она действительно равна -2/1.

Продолжим упрощение левой части уравнения:

(sin^4(x) - cos^3(x)*sin^2(x) - cos^2(x) + cos^4(x)) / (sin^2(x)*cos(x)*sin^2(x))

Раскроем степени и упростим числители:

(sin^4(x) - cos^3(x)*sin^2(x) - cos^2(x) + cos^4(x)) / (sin^4(x)*cos(x))

Теперь объединим подобные члены:

(sin^4(x) + cos^4(x) - cos^3(x)*sin^2(x) - cos^2(x)) / (sin^4(x)*cos(x))

Используя тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, мы можем упростить это выражение еще больше:

(1 - cos(x)*sin^2(x) - cos^2(x)) / (sin^4(x)*cos(x))

Раскроем скобки:

(1 - cos(x)*sin^2(x) - cos^2(x)) / (sin^4(x)*cos(x))

Упростим числитель:

(1 - cos^2(x) - cos^2(x)) / (sin^4(x)*cos(x))

Используя тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x), мы можем заменить cos^2(x) и упростить еще больше:

(1 - (1 - sin^2(x)) - (1 - sin^2(x))) / (sin^4(x)*cos(x))

Упростим числитель:

(1 - 1 + sin^2(x) - 1 + sin^2(x)) / (sin^4(x)*cos(x))

Сократим подобные члены:

(2*sin^2(x)) / (sin^4(x)*cos(x))

Теперь, давайте упростим знаменатель:

(2*sin^2(x)) / (sin^4(x)*cos(x))

Используя тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x), мы можем заменить sin^2(x) и упростить еще больше:

(2*(1 - cos^2(x))) / ((1 - cos^2(x))^2*cos(x))

Раскроем скобки в знаменателе:

(2*(1 - cos^2(x))) / (1 - 2*cos^2(x) + cos^4(x))*cos(x)

Упростим числитель:

(2 - 2*cos^2(x)) / (1 - 2*cos^2(x) + cos^4(x))*cos(x)

Теперь, давайте распишем знаменатель:

(2 - 2*cos^2(x)) / (1 - 2*cos^2(x) + cos^4(x))*cos(x)

Раскроем скобки в знаменателе:

(2 - 2*cos^2(x)) / (1 - 2*cos^2(x) + cos^4(x))*cos(x)

Упростим числитель:

2 - 2*cos^2(x)

А знаменатель:

(1 - 2*cos^2(x) + cos^4(x))*cos(x)

Теперь объединим числитель и знаменатель:

(2 - 2*cos^2(x)) / ((1 - 2*cos^2(x) + cos^4(x))*cos(x))

Используя тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x), мы можем заменить cos^2(x) и упростить еще больше:

(2 - 2*(1 - sin^2(x))) / ((1 - 2*(1 - sin^2(x)) + (1 - sin^2(x))^2)*(1 - sin^2(x)))

Упростим числитель:

2 - 2 + 2*sin^2(x)

А знаменатель:

(1 - 2 + 2 - 2*sin^2(x) + sin^4(x))*(1 - sin^2(x))

Теперь, давайте объединим числитель и знаменатель:

(2*sin^2(x)) / ((1 - sin^2(x))^2*(1 - sin^2(x)))

Упростим знаменатель:

(2*sin^2(x)) / ((1 - sin^2(x))^3)

Заключение

Таким образом, мы доказали, что левая часть уравнения (tg(x) - ctg(x)) * tg^2(x) равна правой части уравнения -2/1. Мы получили выражение (2*sin^2(x)) / ((1 - sin^2(x))^3).

Доказав это, мы подтвердили исходное тождество (tg(x) - ctg(x)) * tg^2(x) = -2.