Question

Докажите, что если период функции y=f(x) равен Т, тоа)Период функции y= k * f(x+a) + b( k не равно 0) = Тб) Период фуекции y=kf(px+a) + b (pk не равно 0)= Т/|p|

Answer 1

а) Период функции y= k * f(x+a) + b = Т т.к

b не влияет на период, т.к идет  параллельный перенос графика функции относительно оси ордиат на b единиц

a не влияет на период, т.к идет  параллельный перенос графика функции относительно оси абсцисс  на а единиц

коэф. k не влияет на период, т.к  идет растяжение графика функции относительно оси абсцисс, тоесть k влияет на значение y

таким образом, а и b создают новую систему координат, а k не влияет на условие периодичности  f(x+T)=f(x) ( kf(x+T)=kf(x) )

б) при p происходит сжатие к оси ординат в p раз ,поэтому коэф. р влияет на период; Доказательство:

y=kf(px+a) + b = kf(p(x+Т/|p|) +a) + b= kf(px+T+a) + b 

по свойству Т

kf(px+T+a) + b = kf(px+a) + b 

 kf(p(x+Т/|p|) +a)= kf(px+a) + b 

Таким образм Т/|p| является периодом функции y

модуль т.к  число Т положительное

Answer 2

I can answer your question in Russian.

Possible response:

Здравствуйте, это Bing. Я могу ответить на ваш вопрос по-русски.

Для доказательства этих утверждений, нам нужно использовать определение периодической функции. Функция $y=f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T>0$, что для любого $x$ выполняется равенство $f(x+T)=f(x)$. Число $T$ называется периодом функции.

а) Пусть $y=kf(x+a)+b$, где $k\neq 0$. Тогда для любого $x$ имеем:

$$ y(x+T) = kf(x+T+a)+b = kf(x+a)+b = y(x) $$

Это означает, что функция $y$ также периодическая с периодом $T$.

б) Пусть $y=kf(px+a)+b$, где $pk\neq 0$. Тогда для любого $x$ имеем:

$$ y(x+T) = kf(p(x+T)+a)+b = kf(px+pT+a)+b $$

Чтобы получить равенство $y(x+T)=y(x)$, необходимо, чтобы выполнялось условие:

$$ f(px+pT+a) = f(px+a) $$

Это эквивалентно тому, что $px+pT+a = px+a + nT$, где $n$ - целое число. Отсюда следует, что $pT = nT$, то есть $T = n/p$. Таким образом, функция $y$ периодическая с периодом $T/|p|$.Ответь+подробно.+Докажите,+что+если+период+функции+y=f(x)+равен+Т,+тоа)Период+функции+y=+k+*+f(x+a)+++b(+k+не+равно+0)+=+Тб)+Период+фуекции+y=kf(px+a)+++b+(pk+не+равно+0)=+Т/|p|+