Question

Log3(x+3)=√9-x, укажите промежуток содержащий его корень

Answer 1

$\mathtt{\log_3(x+3)=\sqrt{9-x}~\to\left\{{{x+3\ \textgreater \ 0}\atop{9-x\geq0}}\right\to~x\in(-3;9]}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны сначала избавиться от логарифма и извлечь корень. Давайте поэтапно решим уравнение.

Избавление от логарифма

Начнем с того, чтобы избавиться от логарифма. В данном случае, у нас есть логарифм с основанием 3. Чтобы избавиться от логарифма, мы возведем обе части уравнения в степень 3. После этого получим следующее уравнение:

3^(log3(x+3)) = (√9 - x)^3

Упрощение выражения

Теперь упростим полученное выражение. Помним, что 3 в степени log3(x+3) равно x+3, поскольку логарифм и экспонента являются обратными операциями. Также, куб квадратного корня из 9-x равен (9-x)^(3/2). Подставим эти значения в наше уравнение:

x+3 = (9-x)^(3/2)

Извлечение корня

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы избавиться от степени 3/2. Получаем:

√(x+3) = √(9-x)

Возводим в квадрат

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(x+3) = (9-x)

Решение уравнения

Теперь решим полученное линейное уравнение:

x + 3 = 9 - x

2x = 6

x = 3

Проверка решения

Для проверки подставим найденное значение x = 3 обратно в исходное уравнение:

log3(3+3) = √9 - 3

log3(6) = √9 - 3

2 = 3 - 3

2 = 0

Проверка показывает, что обе части уравнения равны. Значит, корень x = 3 является решением исходного уравнения.

Промежуток, содержащий корень

Так как наше уравнение имеет только один корень x = 3, то промежуток, содержащий этот корень, будет (3, 3).