Question

∫x^2/(2*x^2+1)dx = ∫(1/2−1/2*(1/(2*x^2+1)dx как это получается

Answer 1

$\int\limits{ \frac{ x^{2} }{2 x^{2} +1} } \, dx = \int\limits{ \frac{ \frac{1}{2}* 2x^{2} }{2 x^{2} +1} } \, dx=\int\limits{ \frac{ 2x^{2} }{2(2 x^{2} +1)}} \, dx=\int\limits{ \frac{ (2x^{2}+1)-1 }{2(2 x^{2} +1)}} \, dx= \\ \\ \int\limits{( \frac{ 2x^{2}+1}{2(2 x^{2} +1)}- \frac{1}{2(2 x^{2} +1)}) } \, dx=\int\limits{ (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} *\frac{1}{(2 x^{2} +1)}) } \, dx= \\ \\ \int\limits{ \frac{1}{2} } \, dx+ \frac{1}{2} \int\limits { \frac{1}{2 x^{2}+1 } } \, dx$

Answer 2

Интеграл ∫x^2/(2*x^2+1)dx можно решить, используя метод дробления на простые дроби. Сначала мы разбиваем дробь на две части: ∫x^2/(2*x^2+1)dx = ∫(1/2-1/(2*x^2+1))dx.

Затем мы разбиваем вторую часть на две дроби: ∫(1/2-1/(2*x^2+1))dx = ∫(1/2)dx - ∫(1/(2*x^2+1))dx.

Интеграл ∫(1/2)dx просто равен (1/2)x, а интеграл ∫(1/(2*x^2+1))dx можно решить, используя замену переменной. Пусть u = √2x, тогда du = √2dx и x = u/√2. Теперь мы можем заменить x в интеграле и получить ∫(1/(2*x^2+1))dx = ∫(1/(u^2+1)) * (1/√2)du.

Интеграл ∫(1/(u^2+1))du можно решить с помощью арктангенса: ∫(1/(u^2+1))du = arctan(u) + C, где C - произвольная постоянная.

Теперь мы можем подставить обратно значение u и получить окончательный ответ: ∫x^2/(2*x^2+1)dx = (1/2)x - (1/√2)arctan(√2x) + C, где C - произвольная постоянная.