Question

2sin^2x=cos x +1..................

Answer 1

$2\sin^2x=\cos x+1\\2-2\cos^2x=\cos x+1\\2\cos^2x+\cos x-1=0\\\cos x=t,\;\cos^2x=t^2,\;t\in[-1;\;1]\\2t^2+t-1=0\\D=1+4\cdot2=9\\t_1=-1,\;t_2=\frac12\\\cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2\pi n\\\cos x=\frac12\Rightarrow x=\frac\pi3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Решим данное уравнение подробно. У нас дано уравнение:

2sin^2(x) = cos(x) + 1

Используем тригонометрическую тождественную формулу sin^2(x) = 1 - cos^2(x), чтобы заменить sin^2(x):

2(1 - cos^2(x)) = cos(x) + 1

Раскроем скобки:

2 - 2cos^2(x) = cos(x) + 1

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его с помощью дискриминанта.

Дискриминант (D) квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае:

a = 2, b = 1, c = -1

D = (1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9

Дискриминант равен 9. Теперь рассмотрим три случая в зависимости от значения дискриминанта:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения. 2. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение. 3. Если D < 0, то уравнение не имеет решений.

В нашем случае, D = 9 > 0. Значит, уравнение имеет два различных решения.

Используем формулу решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения:

x = (-1 ± √9) / (2(2)) x = (-1 ± 3) / 4

Таким образом, получаем два решения:

1. x = (-1 + 3) / 4 = 2 / 4 = 0.5 2. x = (-1 - 3) / 4 = -4 / 4 = -1

Итак, уравнение 2sin^2(x) = cos(x) + 1 имеет два решения: x = 0.5 и x = -1.