Question

докажите, что значение выражения (n-1)(n+1)-(n-7)(n+3) кратно 4 при всех целых значениях n

Answer 1

n^2 -1 - n^2 +4n + 21 = 4n+20 В этой сумме каждое слагаемое делится на 4, значит вся сумма делится на 4. Можно еще так: 4(n+5) в этом произведении один из множителей (4) делится на 4, значит все произведение делится на 4 

Answer 2

Решение во вложении:

.................................

Answer 3

Для доказательства, что выражение `(n-1)(n+1)-(n-7)(n+3)` кратно 4 при всех целых значениях `n`, мы можем разложить его на множители и проверить, делится ли результат на 4.

Разложение выражения:

`(n-1)(n+1)-(n-7)(n+3)`

Раскроем скобки:

`n(n+1) - 1(n+1) - n(n+3) + 7(n+3)`

Упростим:

`n^2 + n - n - 1 - n^2 - 3n + 7n + 21`

Сгруппируем подобные слагаемые:

`n^2 - n^2 + n - n - 3n + 7n - 1 + 21`

Упростим:

`4n + 20`

Деление на 4:

Теперь проверим, делится ли полученное выражение `4n + 20` на 4 при всех целых значениях `n`.

Выражение `4n + 20` можно представить в виде `4(n + 5)`. Заметим, что `n + 5` будет целым числом для всех целых значений `n`. Таким образом, `4(n + 5)` делится на 4 без остатка при всех целых значениях `n`.

Таким образом, мы доказали, что выражение `(n-1)(n+1)-(n-7)(n+3)` кратно 4 при всех целых значениях `n`.

Пример:

Давайте рассмотрим пример, чтобы продемонстрировать это. Пусть `n = 3`. Подставим значение `n` в исходное выражение:

`(3-1)(3+1)-(3-7)(3+3)`

Упростим:

`2 * 4 - (-4) * 6`

`8 + 24`

`32`

Как видим, результат равен 32, что является кратным 4. Это подтверждает наше доказательство.

Важно отметить, что данное доказательство основано на алгебраических преобразованиях и не требует использования внешних источников.