Question

Допоможіть дослідити функцію на монотонність та екстремуми f(x) = 12x-x³

Answer 1

f(x) = 12x-x³f'(x) = 12 - 3x²
12 - 3x² = 0
x² = 4
x1 = -2
x2 = 2
 при x∈ (-∞; -2) U (2; +∞)  f'(x)  < 0  f(x)↓
при x∈ (-2; 2) f'(x)  > 0  f(x)↑
в точке x1 = -2 минимум  f(x)min = -16
в точке x1 = 2 максимум  f(x)max = 16

Answer 2

Щоб дослідити функцію на монотонність та екстремуми, спочатку нам потрібно знайти похідну функції. Похідна допоможе нам з'ясувати, як змінюється функція в різних точках і де вона досягає своїх екстремумів.

Перш ніж знайти похідну, давайте спростимо функцію f(x) = 12x - x³. Ми можемо спростити її, витягнувши спільний множник: f(x) = x(12 - x²)

Тепер знайдемо похідну від цієї функції. Похідна функції f(x) показує, як швидко змінюється значення функції відносно зміни x. Похідна позначається як f'(x) або dy/dx.

f'(x) = d/dx(x(12 - x²)) = 12 - 3x²

Тепер, коли ми маємо похідну f'(x), ми можемо використовувати її для аналізу монотонності та екстремумів функції.

Монотонність

Щоб визначити, де функція f(x) є монотонною зростаючою або спадною, ми можемо вивчити знак похідної f'(x). Знак похідної покаже нам напрямок зміни функції.

1. Знайдемо точки, в яких похідна f'(x) дорівнює нулю: 12 - 3x² = 0

Розв'яжемо це рівняння: 3x² = 12 x² = 4 x = ±2

Отже, ми отримали дві точки, де похідна дорівнює нулю: x = 2 та x = -2.

2. Тепер візьмемо довільну точку з кожного інтервалу, утвореного цими точками та віссю x, і встановимо знак похідної в цих точках.

a) При x < -2: Підставимо x = -3 в f'(x): f'(-3) = 12 - 3(-3)² = 12 - 3(9) = 12 - 27 = -15

Знак похідної f'(-3) = -15 від'ємний.

b) При -2 < x < 2: Підставимо x = 0 в f'(x): f'(0) = 12 - 3(0)² = 12 - 3(0) = 12

Знак похідної f'(0) = 12 додатній.

c) При x > 2: Підставимо x = 3 в f'(x): f'(3) = 12 - 3(3)² = 12 - 3(9) = 12 - 27 = -15

Знак похідної f'(3) = -15 від'ємний.

Із знаком похідної, ми можемо зробити висновок про монотонність функції:

- Функція f(x) є зростаючою на інтервалі (-∞, -2) та спадною на інтервалі (-2, 2). - Функція f(x) є зростаючою на інтервалі (2, ∞).

Екстремуми

Щоб знайти екстремуми функції f(x), ми перевіримо значення похідної f'(x) у точках, де вона дорівнює нулю або не існує.

1. Знайдемо значення f(x) у точках, де f'(x) дорівнює нулю: a) При x = 2: Підставимо x = 2 в f(x): f(2) = 12(2) - 2³ = 24 - 8 = 16

b) При x = -2: Підставимо x = -2 в f(x): f(-2) = 12(-2) - (-2)³ = -24 - (-8) = -16

Отже, ми отримали дві точки зі значеннями f(x): (2, 16) та (-2, -16).

2. Також перевіримо значення f(x) у критичних точках, де похідна не існує. Однак, у даному випадку, похідна f'(x) існує для всіх значень x, тому ми не маємо критичних точок.

Отже, у нашому випадку, ми маємо два екстремуми: - Максимум у точці (2, 16) - Мінімум у точці (-2, -16)

Це означає, що функція f(x) досягає найбільшого значення 16 у точці x = 2 і найменшого значення -16 у точці x = -2.