Question

Решить уравнение cos 2x - cos x = 0 и указать корни принадлежащие отрезку [П; 2П]

Answer 1

cos 2x - cos x = 0

2cos²x - 1 - cos x = 0

замена t = cos x

2t² - t - 1 = 0

t = 1, t = -1/2

 

cos x = 1

x = 2 pi n

Данному отрезку принадлежат корень 2pi

 

cos(x) = -1/2

x = 2pi/3 + 2 pi n

x = 4pi/3 + 2 pi n

данному отрезку принадлежат корень 4рi/3

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) - cos(x) = 0 сначала преобразуем его с использованием формулы двойного угла для косинуса: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Теперь уравнение примет вид 2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0.

Далее проведем замену переменной, представив cos(x) как t: 2t^2 - t - 1 = 0. Это уравнение квадратное относительно t, которое можно решить с использованием дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

D = (-1)^2 - 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9

Таким образом, дискриминант положительный, что означает, что у уравнения есть два корня. Найдем их, используя формулу квадратного уравнения: t = (-b ± √D) / (2a).

t1 = (1 + √9) / (4) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1 t2 = (1 - √9) / (4) = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Теперь вернемся к исходной переменной cos(x). Поскольку cos(x) = t, то получим: cos(x) = 1 и cos(x) = -1/2

Ищем все корни, принадлежащие отрезку [0; 2π]: 1. cos(x) = 1. Это удовлетворяет уравнению при x = 0, т.к. cos(0) = 1. 2. cos(x) = -1/2. Это удовлетворяет уравнению при x = 2π/3 и x = 4π/3, т.к. cos(2π/3) = -1/2 и cos(4π/3) = -1/2.

Таким образом, корни уравнения cos(2x) - cos(x) = 0, принадлежащие отрезку [0; 2π], равны x = 0, x = 2π/3 и x = 4π/3.