Question

Решите уравнения: log_9(9x)*log_x(√3)=log_1/4(√2) log_3(25^x-2*5^x)=2log_9(15)

Answer 1

$\log_9(9x)\log_x\sqrt{3}=\log_{\frac{1}{4}}\sqrt{2};\log_{3^2}(9x)\log_x3^{\frac{1}{2}}=\log_{2^{-2}}2^{\frac{1}{2}};\\\frac{1}{2}\log_3(9x)\frac{1}{2}\log_x3=-\frac{1}{2}\log_22^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}*\frac{1}{2};\frac{1}{4}\log_3(9x)\log_x3=-\frac{1}{4};\\\frac{\log_3(9x)}{\log_3x}=-1;\frac{\log_39+\log_3x}{\log_3x}=-1;\frac{2}{\log_3x}+1=-1;\log_3x=-1;x=\frac{1}{3}$


$\log_3(25^x-2*5^x)=2\log_915=2\log_{3^2}15=2*\frac{1}{2}\log_315;\\\log_3(25^x-2*5^x)=\log_315;25^x-2*5^x=15;25^x-2*5^x-15=0;\\(5^x+3)(5^x-5)=0;5^x-5^1=0;x-1=0;x=1$

Answer 2

Решение задания приложено

Answer 3

Давайте посмотрим на каждое уравнение по отдельности и найдем его решение.

Уравнение 1: log_9(9x) * log_x(√3) = log_1/4(√2)

Начнем с левой части уравнения. Мы имеем два логарифма, один в базе 9, а другой в базе x. Чтобы избавиться от логарифмов, мы можем использовать свойства логарифмов.

Свойство 1: log_a(b) * log_b(a) = 1

Применим это свойство к первому слагаемому:

log_9(9x) * log_x(√3) = 1

Теперь у нас есть:

1 * log_x(√3) = log_1/4(√2)

Чтобы избавиться от логарифма, мы можем применить свойство:

Свойство 2: log_a(b) = c => a^c = b

Применим это свойство к правой части уравнения:

log_x(√3) = log_1/4(√2) => x^(log_x(√3)) = √2

Теперь мы имеем:

x^(log_x(√3)) = √2

Так как базы логарифма и экспоненты одинаковые (x), мы можем убрать их и оставить только содержимое:

log_x(√3) = √2

Теперь применим свойство:

Свойство 3: log_a(b) = c => a^c = b

Применим это свойство к левой части уравнения:

x^(√2) = √3

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

(x^(√2))^2 = (√3)^2

x^2√2 = 3

Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в степень 1/(2√2):

(x^2√2)^(1/(2√2)) = 3^(1/(2√2))

x = 3^(1/(2√2))

Таким образом, решением первого уравнения является x = 3^(1/(2√2)).

Уравнение 2: log_3(25^x-2*5^x) = 2log_9(15)

В этом уравнении у нас также есть логарифм в базе 3 и правая часть содержит логарифм в базе 9. Мы можем использовать свойства логарифмов для упрощения уравнения.

Сначала заметим, что:

2log_9(15) = log_9(15^2)

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

log_3(25^x-2*5^x) = log_9(15^2)

Чтобы избавиться от логарифмов, мы можем применить свойство:

Свойство 4: log_a(b) = log_a(c) => b = c

Применим это свойство к обеим частям уравнения:

25^x - 2*5^x = 15^2

Теперь у нас есть уравнение без логарифмов. Мы можем решить его, используя алгебраические методы.

Давайте вынесем общий множитель 5^x:

5^x * (25 - 2) = 15^2

5^x * 23 = 15^2

Теперь, чтобы решить это уравнение относительно x, мы можем применить логарифмы.

Возьмем логарифм от обеих сторон уравнения:

log(5^x * 23) = log(15^2)

Используем свойство логарифма:

log(a * b) = log(a) + log(b)

x * log(5) + log(23) = 2 * log(15)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x, используя известные значения логарифмов.

Таким образом, решение второго уравнения будет зависеть от конкретных значений логарифмов и будет представлять собой численное значение для x.

Пожалуйста, предоставьте значения логарифмов (log(5), log(23), log(15)) для дальнейшего решения уравнения.