Question

Если g(x)=(2x+3)^12, найдите g'(-2)

Answer 1

g(-2)=(2*(-2)+3)^12=(-4+3)^12=-1^12=-1

Answer 2

Чтобы найти производную функции \( g(x) = (2x+3)^{12} \) в точке \( x = -2 \) (т.е. \( g'(-2) \)), мы можем использовать цепное правило дифференцирования функций. Давайте начнем с вычисления производной \( g(x) \) по \( x \), а затем подставим \( x = -2 \) для получения значения \( g'(-2) \).

Нахождение производной \( g(x) \)

Для нахождения производной функции \( g(x) \), мы можем использовать степенное правило дифференцирования в сочетании с цепным правилом.

1. Степенное правило: Если \( f(x) = x^n \), то \( f'(x) = nx^{n-1} \).

2. Цепное правило: Если \( f(x) \) и \( g(x) \) - дифференцируемые функции, то производная композиции функций \( (f \circ g)(x) \) равна \( (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

Применим эти правила к функции \( g(x) = (2x+3)^{12} \):

1. \( f(u) = u^{12} \), где \( u = 2x+3 \). 2. \( f'(u) = 12u^{11} \) (производная \( u^{12} \) по \( u \)). 3. \( g'(x) = f'(u) \cdot u'(x) = 12(2x+3)^{11} \cdot 2 \).

Вычисление \( g'(-2) \)

Теперь, когда у нас есть выражение для производной \( g(x) \), мы можем вычислить \( g'(-2) \):

\[ g'(-2) = 12(2 \cdot (-2) + 3)^{11} \cdot 2 \]

Вычислив это выражение, мы получим значение производной функции \( g(x) \) в точке \( x = -2 \).