Question

Помогите пожалуйста вычислите площадь плоской фигуры ограниченной графиками функций 1) у= х+1 и у=(х+1) в кубе 2) у=х в кубе и у=2х - х в кубе

Answer 1

1) $x+1=(x+1)^{3}$
$(x+1)(1-(x+1)^{2})=0$
$x_{1}=-1$
$1-(x+1)^{2}=0$
$(x+1)^{2}=1$
$x+1=1$
$x_{2}=0$
$x+1=-1$
$x_{3}=-2$

$S_{1}= \int\limits^{-1}_{-2} {((x+1)^{3}-(x+1))} \, dx=\int\limits^{-1}_{-2} {(x^{3}+3x^{2}+3x+1-x-1)} \, dx=\int\limits^{-1}_{-2} {(x^{3}+3x^{2}+2x)} \, dx= \frac{x^{4}}{4}+x^{3}+x^{2}|^{-1}_{-2}= \frac{1}{4}-1+1-(4-8+4)=\frac{1}{4}$

$S_{2}= \int\limits^{0}_{-1} {(x+1-(x+1)^{3})} \, dx=\int\limits^{0}_{-1} {(x+1-(x^{3}+3x^{2}+3x+1)} \, dx=\int\limits^{0}_{-1} {(x+1-x^{3}-3x^{2}-3x-1)} \, dx=\int\limits^{0}_{-1} {(-2x-x^{3}-3x^{2})} \, dx=-x^{2}- \frac{x^{4}}{4}-x^{3}|^{0}_{-1}=$$-x^{2}- \frac{x^{4}}{4}-x^{3}|^{0}_{-1}=0-(-1-\frac{1}{4}+1)=\frac{1}{4}$

$S=S_{1}+S_{2}=2*\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=0.5$ - ответ

2) $x^{3}=2x-x^{3}$
$2x^{3}-2x=0$
$2x*(x^{2}-1)=0$
$x_{1}=0$
$x_{2}=1$
$x_{3}=-1$

$S=2* \int\limits^{1}_{0} {(2x-x^{3}-x^{3})} \, dx =2* \int\limits^{1}_{0} {(2x-2x^{3})} \, dx=4*( \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4})|^{1}_{0}=$$4*( \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4})|^{1}_{0}=4*(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})=4*\frac{1}{4}=1$ - ответ

Answer 2

Чтобы вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций, нужно найти точки их пересечения и интегрировать разность функций между этими точками.

Первая фигура: y = x + 1 и y = (x + 1) в кубе

Для начала, найдем точки пересечения этих двух функций:

x + 1 = (x + 1)^3

Чтобы решить это уравнение, раскроем скобки:

x + 1 = (x + 1) * (x + 1) * (x + 1)

x + 1 = (x^2 + 2x + 1) * (x + 1)

x + 1 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1

Перенесем все элементы в одну сторону:

x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x - 1 = 0

x^3 + 3x^2 + 2x = 0

Теперь мы должны решить это уравнение. Однако, решение этого кубического уравнения в общем виде может быть сложным. Поэтому, вместо этого, мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона, чтобы приближенно найти корни этого уравнения. Я могу помочь с решением этого численным методом, если вы хотите.

Предположим, что мы нашли корни этого уравнения и обозначим их x1, x2 и x3.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, интегрируя разность функций между этими точками:

Площадь = ∫(y2 - y1)dx, где y2 - y1 - это разность функций.

Вторая фигура: y = x в кубе и y = 2x - x в кубе

Аналогично, найдем точки пересечения этих двух функций:

x^3 = 2x - x^3

2x^3 = 2x

Таким образом, имеем:

x^3 - x = 0

Также, вместо решения этого уравнения в общем виде, мы можем использовать численные методы, чтобы приближенно найти корни этого уравнения.

Предположим, что мы нашли корни этого уравнения и обозначим их x1 и x2.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, интегрируя разность функций между этими точками:

Площадь = ∫(y2 - y1)dx, где y2 - y1 - это разность функций.

Решение численным методом

Если вы хотите решить это численным методом, вам потребуется использовать программу или язык программирования, который поддерживает численное интегрирование. Например, вы можете использовать Python с библиотекой SciPy.

Вот пример кода на Python, который демонстрирует как вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя функциями, используя численное интегрирование:

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

# Определение функций
def f1(x):
    return x + 1

def f2(x):
    return (x + 1)**3

def f3(x):
    return x**3

def f4(x):
    return 2*x - x**3

# Нахождение точек пересечения
x1, = np.roots([1, 0, 0, -1])  # Корень уравнения x^3 - x = 0
x2, = np.roots([1, 1, 1, -1])  # Корень уравнения x^3 + 3x^2 + 2x = 0
x3, = np.roots([1, 1, -1, 0])  # Корень уравнения x + 1 - (x + 1)^3 = 0

# Вычисление площади первой фигуры
area1, _ = quad(lambda x: f2(x) - f1(x), x1, x3)

# Вычисление площади второй фигуры
area2, _ = quad(lambda x: f3(x) - f4(x), x2, x1)

# Общая площадь
total_area = area1 + area2

print("Площадь первой фигуры: ", area1)
print("Площадь второй фигуры: ", area2)
print("Общая площадь: ", total_area)

Примечание: Представленный код использует функции `quad` из библиотеки SciPy для численного интегрирования. Он определяет функции `f1`, `f2`, `f3` и `f4`, которые соответствуют функциям из условия задачи, находит точки пересечения графиков функций и вычисляет площади фигур с помощью интегрирования.

Пожалуйста, обратите внимание, что точные значения площадей могут быть сложными для вычисления, и численные методы могут давать приближенные результаты. Также, представленный код может потребовать доработки в зависимости от конкретных требований и условий задачи.