Question

Решите систему: x^2+3y^2=7 и xy+y^2=3

Answer 1

$x^2+3y^2=7\\ xy+y^2=3\\ \\ y^2=\frac{7-x^2}{3}\\ x\sqrt{\frac{7-x^2}{3}}+\frac{7-x^2}{3}=3\\ x\sqrt{\frac{7-x^2}{3}}=3-\frac{7-x^2}{3}\\ x^2*\frac{7-x^2}{3}=\frac{x^4+4x^2+4}{9}\\ \frac{21x^2-3x^4}{9}=\frac{x^4+4x^2+4}{9}\\ 21x^2-3x^4=x^4+4x^2+4\\ 4x^4-17x^2+4=0\\ x^2=t\\ D=289-4^3=15^2\\ x_{1}=\frac{17+15}{8}=4\\ x_{2}=\frac{17-15}{8}=\frac{1}{4}\\ x=+-2\\ x=+-0.5\\ y=+-1\\ y=+-\frac{3}{2}$

Answer 2

Данная система уравнений состоит из двух нелинейных уравнений с двумя переменными x и y. Чтобы решить ее, мы можем использовать различные методы, например метод подстановки или метод исключения. Давайте попробуем решить эту систему с помощью метода подстановки.

1. Метод подстановки: - В первом уравнении, x^2 + 3y^2 = 7, мы можем выразить x через y или наоборот. - Рассмотрим второе уравнение, xy + y^2 = 3. - Выразим x через y: xy + y^2 = 3 => x = (3 - y^2) / y. - Подставим это значение x в первое уравнение: (3 - y^2)^2 / y^2 + 3y^2 = 7. - Упростим это уравнение: (9 - 6y^2 + y^4) / y^2 + 3y^2 = 7. - Умножим обе части уравнения на y^2: 9 - 6y^2 + y^4 + 3y^4 = 7y^2. - Объединим подобные члены: 4y^4 - 13y^2 + 9 = 0.

2. Решение уравнения 4y^4 - 13y^2 + 9 = 0: - Это уравнение является квадратным относительно y^2. Пусть z = y^2. - Тогда уравнение примет вид: 4z^2 - 13z + 9 = 0. - Решим это квадратное уравнение: z = (-(-13) ± √((-13)^2 - 4 * 4 * 9)) / (2 * 4). - Упростим: z = (13 ± √(169 - 144)) / 8. - z = (13 ± √25) / 8. - z1 = (13 + 5) / 8 = 18 / 8 = 9 / 4. - z2 = (13 - 5) / 8 = 8 / 8 = 1. - Получили два значения z.

3. Найдем y: - Для первого значения z1 = 9 / 4: y^2 = z1 => y^2 = 9 / 4 => y1 = ±√(9 / 4) = ±3 / 2. - Для второго значения z2 = 1: y^2 = z2 => y^2 = 1 => y2 = ±1.

4. Найдем x: - Подставим найденные значения y в одно из исходных уравнений, например во второе: xy + y^2 = 3. - Для первого значения y1 = 3 / 2: x * (3 / 2) + (3 / 2)^2 = 3. (3x + 9 / 4) / 2 = 3. 3x + 9 / 4 = 6. 3x = 6 - 9 / 4. 3x = 24 / 4 - 9 / 4. 3x = 15 / 4. x = 15 / 12. x = 5 / 4. Таким образом, получаем первую пару решений: (x1, y1) = (5 / 4, 3 / 2).

- Для второго значения y2 = -3 / 2: x * (-3 / 2) + (-3 / 2)^2 = 3. (-3x + 9 / 4) / 2 = 3. -3x + 9 / 4 = 6. -3x = 6 - 9 / 4. -3x = 24 / 4 - 9 / 4. -3x = 15 / 4. x = -15 / 12. x = -5 / 4. Таким образом, получаем вторую пару решений: (x2, y2) = (-5 / 4, -3 / 2).

5. Итого, система имеет два решения: (x1, y1) = (5 / 4, 3 / 2) и (x2, y2) = (-5 / 4, -3 / 2).