Question

Исследуйте график функции: f(x) = x^2/ x + 4 (в числителе х^2 в знаменателе х+4) 1)область определения функции 2) нули функции 3) промежутки знакопостоянства 4) точки экстримума 5) промежутки монотонности 6) область значений 7) наибольшее и наименьшее значение 8) четность (нечетность)

Answer 1

Ответ смотри в приложении

Answer 2

Исследование графика функции f(x) = (x^2 + x + 4) / (x + 4)

Давайте проведем исследование графика функции f(x) = (x^2 + x + 4) / (x + 4) и рассмотрим следующие характеристики:

1) Область определения функции:

Область определения функции - это множество значений, для которых функция определена. В данном случае, функция определена для всех значений x, за исключением x = -4, так как при данном значении знаменатель становится равным нулю (деление на ноль не определено). Таким образом, область определения функции f(x) = (x^2 + x + 4) / (x + 4) будет равна множеству всех рациональных чисел, кроме x = -4.

2) Нули функции:

Чтобы найти нули функции, нам нужно решить уравнение f(x) = 0. В данном случае, уравнение будет выглядеть следующим образом:

(x^2 + x + 4) / (x + 4) = 0

Решая это уравнение, мы получим два значения для x, а именно x = -2 и x = -2. Таким образом, нули функции f(x) = (x^2 + x + 4) / (x + 4) будут равны x = -2 и x = -2.

3) Промежутки знакопостоянства:

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нужно определить значения функции для различных интервалов x и выяснить, когда она положительна, а когда отрицательна. Для этого нам потребуется построить знаковую таблицу:

x < -4       | -4 < x < -2          | x > -2
----------------------------------------------
f(x) > 0     | f(x) < 0             | f(x) > 0

Таким образом, функция f(x) = (x^2 + x + 4) / (x + 4) положительна при x < -2 и x > -4, а отрицательна при -4 < x < -2.

4) Точки экстремума:

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для этой функции, нам понадобится найти производную и приравнять ее к нулю:

f'(x) = (2x + 1)(x + 4) / (x + 4)^2 = 0

Решая это уравнение, мы получим одно значение для x, а именно x = -1/2. Таким образом, точка экстремума функции f(x) = (x^2 + x + 4) / (x + 4) будет равна x = -1/2.

5) Промежутки монотонности:

Чтобы найти промежутки монотонности функции, нужно проанализировать производную функции и определить ее знак на различных интервалах x. Для этой функции, нам понадобится построить знаковую таблицу для производной:

x < -4       | -4 < x < -1/2       | x > -1/2
----------------------------------------------
f'(x) > 0    | f'(x) < 0           | f'(x) > 0

Таким образом, функция f(x) = (x^2 + x + 4) / (x + 4) возрастает при x < -1/2 и x > -4, а убывает при -4 < x < -1/2.

6) Область значений функции:

Область значений функции - это множество значений, которые функция может принимать. Для данной функции, область значений будет включать все действительные числа, за исключением значения y = 1 (которое будет достигаться при x = -4).

7) Наибольшее и наименьшее значение:

Функция f(x) = (x^2 + x + 4) / (x + 4) не имеет наибольшего или наименьшего значения, так как она не ограничена сверху или снизу.

8) Четность (нечетность):

Для данной функции, можно заметить следующее:

f(-x) = ((-x)^2 + (-x) + 4) / (-x + 4) = (x^2 - x + 4) / (x - 4) = f(x)

Таким образом, функция f(x) = (x^2 + x + 4) / (x + 4) является четной функцией, так как f(-x) = f(x).

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.