Question

Найти все а, при который уравнение не имеет корней.

Answer 1

Пусть $5a-8x=t$, тогда получим 
   $x^6+t^3+3x^2+3t=0\\ (x^2+t)(x^4-tx^2+t^2)+3(x^2+t)=0\\ (x^2+t)(x^4-tx^2+t^2+3)=0$
Последнее уравнение обращается в 0 тогда, когда хотя бы один из множителей обращается в 0.
$x^2+t=0$ 

или же, вернувшись к обратной замене,  $x^2-8x+5a=0$
$D=64-20a$

Квадратное уравнение действительных корней не имеет, если дискриминант меньше нуля
    $64-20a\ \textless \ 0$
     
откуда
          $a\ \textgreater \ 3.2$

$x^4-tx^2+t^2+3=0$
Путем выделения полного квадрата
                       $~~~~~~ (x^2-0.5t)^2+0.75t^2+3=0$
имеем, что левая часть уравнения принимает только положительные значения.

При а = 3,2 уравнение имеет один единственный корень, поэтому в знак неравенства равно не включаем!

ОТВЕТ: $a \in (3.2;+\infty)$
    

Answer 2

$(x^6+3x^2)+\left((5a-8x)^3+3(5a-8x)\right)=0;\ F(t)=t^3+3t;$

$F(x^2)+F(5a-8x)=0;\ F(x^2)=-F(5a-8x);\ F(x^2)=F(8x-5a);$

$x^2=8x-5a;\ x^2-8x+5a=0;\ \frac{D}{4}=16-5a\ \textless \ 0;\ a\ \textgreater \ \frac{16}{5}$

Ответ: $(3,2;+\infty)$

Комментарий к решению: функция $F(t)=t^3+3t$ - нечетная монотонно возрастающая функция, определенная на всей числовой прямой.