Question

Номер 54 пожалуйста!!!!!!!

Answer 1

$1) \int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_{ \frac{ \pi }{8} } { \frac{1}{cos^2(2x- \frac{ \pi }{4} )}} \, dx= \frac{1}{2} \int\limits^{ \frac{ \pi }{4} }_{ \frac{ \pi }{8} } { \frac{1}{cos^2(2x- \frac{ \pi }{4} )}} \, d(2x- \frac{ \pi }{4})= \\ \\ = \frac{1}{2}tg(2x- \frac{ \pi }{4})| { \frac{ \pi }{4} }_{ \frac{ \pi }{8} }= \frac{1}{2}(tg (\frac{ 2\pi }{4}- \frac{ \pi }{4})- tg( \frac{2 \pi }{8}- \frac{ \pi }{4}))= \\ \\ = \frac{1}{2} (tg\frac{ \pi }{4}-tg0)= \frac{1}{2}$

$2) \int\limits^{ \pi} }_{ \frac{2 \pi }{3} } { \frac{1}{cos^2( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6} )}} \, dx= 2 \int\limits^{ \pi }_{ \frac{2 \pi }{3} } { \frac{1}{cos^2( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6} )}} \, d( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6})= \\ \\ = -2ctg( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6})|^ { \pi }_{ \frac{2\pi }{3} }=-2(ctg (\frac{ \pi }{2}- \frac{ \pi }{6})-ctg( \frac{ 2\pi }{6}- \frac{ \pi }{6}))= \\ \\ = -2(ctg\frac{ \pi }{3}-ctg \frac{ \pi }{6} )= -2( \frac{ \sqrt{3} }{3}- \sqrt{3})=$

$\frac{4 \sqrt{3} }{3}$

Формула сosα·sinα=sin2α/2
$3)= \frac{1}{4} \int\limits^ \pi _ \frac{ \pi }{3} {sin( \frac{x}{2}- \frac{ \pi }{6}) } \, d( \frac{x}{2}- \frac{ \pi }{6})= \frac{1}{4}(-cos(\frac{x}{2}- \frac{ \pi }{6}) |^ \pi _ \frac{ \pi }{3}= \\ \\ =- \frac{1}{4}( cos( \frac{ \pi }{2}- \frac{ \pi }{6})-cos( \frac{ \pi }{6}- \frac{ \pi }{6}))=- \frac{1}{4}( cos( \frac{ \pi }{3})-cos0)=- \frac{1}{4}( \frac{1}{2}-1)= \\ \\ = \frac{1}{8}$

Формула  2cos²α=1+cos2α
$4)=3 \int\limits^ \pi _ 0 {(-cos( \frac{x}{3})) } \, d( \frac{x}{3})=3(-sin(\frac{x}{3} ) |^ \pi _ 0= \\ \\ =- 3(sin( \frac{ \pi }{3})-sin0)=- 3\cdot\frac{ \sqrt{3} }{2}$