Question

1. найдите область определения функции y=корень x^2-4x+32. Функция y=f(x) задана формулой y=5-3x/4. При каких значения аргумента x: a) f(x)>0; б) f(x)<0

Answer 1

1.
$y= \sqrt{x^2-4x+3}$
В данном случае нахождение области определения функции заключается в том, чтобы определить, при каких значениях аргумента подкоренное выражение принимает неотрицательные значения, поэтому:
$x^2-4x+3 \geq 0$
Разложим квадратный трехчлен на множители:
$x^2-4x+3=0\\ D=b^2-4*a*c=(-4)^2-4*1*3=16-12=4\\ x_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{4+2}{2*1}= \frac{6}{2}=3\\ x_2= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{4-2}{2*1}= \frac{2}{2}=1\\ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\\ x^2-4x+3=(x-3)(x-1)$
Получаем неравенство:
$(x-3)(x-1) \geq 0$
Для его решения воспользуемся методом интервалов. (Изображение прикрепила). Нас интересуют промежутки с "+", поэтому:
$x \in (-\infty;1] \cup [3;+\infty)$
==============================
2.
$f(x)=5- \frac{3x}{4}\\ f(x)\ \textgreater \ 0 \Rightarrow 5- \frac{3x}{4}\ \textgreater \ 0 \Rightarrow - \frac{3x}{4}\ \textgreater \ -5 \Rightarrow 3x\ \textless \ 20 \Rightarrow x\ \textless \ \frac{20}{3} \Rightarrow x\ \textless \ 6 \frac{2}{3} \\ f(x)\ \textless \ 0 \Rightarrow 5- \frac{3x}{4}\ \textless \ 0 \Rightarrow - \frac{3x}{4}\ \textless \ -5 \Rightarrow 3x\ \textgreater \ 20 \Rightarrow x\ \textgreater \ \frac{20}{3} \Rightarrow x\ \textgreater \ 6 \frac{2}{3}$