Question

Решите неравенство x^2-6x-7<0

Answer 1

D=36+28=64
x1=7
x2=-1
x= (-1;7)
...........................

Answer 2

Чтобы решить неравенство квадратного трехчлена, нужно определить интервалы, на которых он принимает отрицательные значения. Давайте рассмотрим уравнение:

\[ x^2 - 6x - 7 < 0 \]

Для начала, найдем корни этого квадратного уравнения. Мы можем использовать квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = -7\).

Используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):

\[ D = (-6)^2 - 4(1)(-7) \]

\[ D = 36 + 28 \]

\[ D = 64 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два вещественных корня. Мы можем найти их, используя формулу квадратного корня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} \]

\[ x = \frac{6 \pm 8}{2} \]

Таким образом, корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7 \]

\[ x_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1 \]

Теперь, учитывая корни уравнения, мы можем разбить вещественную прямую на три интервала: \((- \infty, -1)\), \((-1, 7)\), и \((7, +\infty)\). Мы можем выбрать точку из каждого интервала и проверить знак выражения \(x^2 - 6x - 7\) в этой точке.

1. Для интервала \((- \infty, -1)\), возьмем \(x = -2\):

\[ (-2)^2 - 6(-2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 \]

Так как 9 положительно, на этом интервале неравенство положительное.

2. Для интервала \((-1, 7)\), возьмем \(x = 0\):

\[ (0)^2 - 6(0) - 7 = 0 - 0 - 7 = -7 \]

Так как -7 отрицательно, на этом интервале неравенство отрицательное.

3. Для интервала \((7, +\infty)\), возьмем \(x = 8\):

\[ (8)^2 - 6(8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 \]

Так как 9 положительно, на этом интервале неравенство положительное.

Таким образом, решением неравенства \(x^2 - 6x - 7 < 0\) является интервал \((-1, 7)\).