Question

Докажите что многочлен х^13+7*x^10*y^3-11*x^3*y^10-17*y^13 делится без остатка на многочлен (x+y)

Answer 1

Следовательно данный многочлен делится на многочлен (x+y)

Answer 2

Чтобы доказать, что многочлен \(x^{13} + 7x^{10}y^3 - 11x^3y^{10} - 17y^{13}\) делится без остатка на многочлен \(x + y\), необходимо показать, что остаток от деления первого многочлена на второй равен нулю.

Воспользуемся алгоритмом деления многочленов. Разделим \(x^{13} + 7x^{10}y^3 - 11x^3y^{10} - 17y^{13}\) на \(x + y\). Получим:

\(x^{13} + 7x^{10}y^3 - 11x^3y^{10} - 17y^{13} = (x + y)(x^{12} - xy^{11} + x^{11}y - x^{10}y^{2} + x^{10}y^{2} - 11x^{3}y^{10} - 17y^{13})\)

Как видно из полученного равенства, многочлен \(x^{13} + 7x^{10}y^3 - 11x^3y^{10} - 17y^{13}\) равен произведению многочлена \(x + y\) и многочлена \(x^{12} - xy^{11} + x^{11}y - x^{10}y^{2} + x^{10}y^{2} - 11x^{3}y^{10} - 17y^{13}\). Таким образом, мы получили деление без остатка.

Вывод: многочлен \(x^{13} + 7x^{10}y^3 - 11x^3y^{10} - 17y^{13}\) делится без остатка на многочлен \(x + y\).