Question

Докажите тождество a+b/2(a-b)-a-b/2(a+b)=b/a-b-b^2-ab/a^2-b^2 поже решите дам 18 баллов 7 класс /-дробь ^-во второй степени

Answer 1

Я решила, но у меня почему-то получилось, что выражение не является тождеством, возможно я где-то ошиблась, но я несколько раз переправерила правильно ли переписала пример.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное тождество:

\[ \frac{a + \frac{b}{2}(a - b) - a - \frac{b}{2}(a + b)}{a + \frac{b}{2}(a - b)} = \frac{b}{a} - \frac{b + b^2 - ab}{a^2 - b^2} \]

Развернем числитель и знаменатель слева:

Числитель: \[ a + \frac{b}{2}(a - b) - a - \frac{b}{2}(a + b) \] Раскрываем скобки: \[ a + \frac{ab}{2} - \frac{b^2}{2} - a - \frac{ab}{2} - \frac{b^2}{2} \] Сокращаем подобные члены: \[ -\frac{b^2}{2} - \frac{b^2}{2} = -b^2 \]

Знаменатель: \[ a + \frac{b}{2}(a - b) \] Раскрываем скобки: \[ a + \frac{ab}{2} - \frac{b^2}{2} \]

Теперь подставим числитель и знаменатель в исходное выражение:

\[ \frac{-b^2}{a + \frac{b}{2}(a - b)} = \frac{b}{a} - \frac{b + b^2 - ab}{a^2 - b^2} \]

Далее упростим правую часть выражения:

\[ \frac{b}{a} - \frac{b + b^2 - ab}{a^2 - b^2} \]

Общий знаменатель: \[ \frac{b(a^2 - b^2)}{a(a^2 - b^2)} - \frac{b + b^2 - ab}{a^2 - b^2} \]

Сложим дроби: \[ \frac{b(a^2 - b^2) - (b + b^2 - ab)}{a(a^2 - b^2)} \]

Раскроем скобки: \[ \frac{ba^2 - b^3 - b - b^2 + ab}{a(a^2 - b^2)} \]

Сократим подобные члены: \[ \frac{ba^2 - b^3 - b^2}{a(a^2 - b^2)} \]

Теперь сравним полученное выражение с левой частью:

\[ \frac{-b^2}{a + \frac{b}{2}(a - b)} \stackrel{?}{=} \frac{ba^2 - b^3 - b^2}{a(a^2 - b^2)} \]

Умножим обе части на знаменатель слева: \[ \frac{-b^2}{a + \frac{b}{2}(a - b)} \cdot (a + \frac{b}{2}(a - b)) = \frac{ba^2 - b^3 - b^2}{a(a^2 - b^2)} \cdot (a + \frac{b}{2}(a - b)) \]

Сокращаем подобные члены в числителях: \[ -b^2 = ba^2 - b^3 - b^2 \]

Теперь упростим выражение:

\[ 0 = ba^2 - b^3 \]

\[ 0 = b(a^2 - b^2) \]

\[ 0 = b(a + b)(a - b) \]

Таким образом, тождество верно.