Question

Разложите на множители многочлены x^3-2x^2+x-2

Answer 1

Теорема Безу.
Возможные делители : x-2, x-1, x+2, x+1
Выполняем деление стобликом многочлена на многочлен (x-2)
$x^3-2x^2+x-2|x-2 \\ x^3-2x^2.............|x^2+1 \\0................x-2 \\ ................x-2 \\ ..................0$

Answer 2

Для разложения многочлена \(x^3 - 2x^2 + x - 2\) на множители воспользуемся методом синтетического деления или методом группировки.

Метод синтетического деления:

Шаг 1: Проверим наличие рациональных корней с помощью рационального корневого теоремы.

Рациональные корни многочлена \(x^3 - 2x^2 + x - 2\) могут быть представлены в виде дробей \(\frac{p}{q}\), где \(p\) - делитель свободного члена (-2), а \(q\) - делитель старшего коэффициента (1). Возможные делители -1, 1, -2, 2.

Попробуем найти корни, подставляя эти значения в многочлен и проверяя, равен ли результат нулю:

- Подстановка \(x = 1\):

\((1)^3 - 2(1)^2 + 1 - 2 = 1 - 2 + 1 - 2 = -2\), что не равно нулю.

- Подстановка \(x = -1\):

\((-1)^3 - 2(-1)^2 - 1 - 2 = -1 - 2 - 1 - 2 = -6\), что не равно нулю.

- Подстановка \(x = 2\):

\((2)^3 - 2(2)^2 + 2 - 2 = 8 - 8 + 2 - 2 = 0\), это равно нулю.

Таким образом, \(x = 2\) - рациональный корень многочлена.

Шаг 2: Разделим многочлен на \((x - 2)\) с помощью синтетического деления.

\[ \begin{array}{c|cccc} & 1 & -2 & 1 & -2 \\ \hline 2 & & 1 & -3 & -5 \\ & & \downarrow & 2 & 0 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \\ \end{array} \]

Таким образом, результат синтетического деления \(x^3 - 2x^2 + x - 2\) на \((x - 2)\) равен \(x^2 - x - 2\).

Теперь можем разложить \(x^2 - x - 2\) на множители. Для этого факторизуем его:

Факторизация \(x^2 - x - 2\):

Выражение \(x^2 - x - 2\) можно факторизовать, найдя два числа, сумма которых равна -1 (коэффициент при \(x\)) и произведение которых равно -2 (свободный член). Эти числа -2 и 1.

\[x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)\]

Итак, исходный многочлен \(x^3 - 2x^2 + x - 2\) разлагается на множители следующим образом:

\[x^3 - 2x^2 + x - 2 = (x - 2)(x + 1)(x - 2)\]

Или более компактно:

\[x^3 - 2x^2 + x - 2 = (x - 2)^2(x + 1)\]