Question

Решите неравенство: (3x^2+5x-12)√16-x^2<=0

Answer 1

ОДЗ
16-x²≥0
(4-x)(4+x)≥0
x=4 U x=-4
x∈[-4;4]
√(16-x²)≥0⇒3x²+5x-12≤0
D=25+144=169
x1=(-5-13)/6=-3
x2=(-5+13)/6=4/3
-3≤x≤4/3
x∈[-3;1 1/3] U {-4;4}

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, давайте разберемся с каждой его частью. Дано неравенство:

\[ (3x^2 + 5x - 12)\sqrt{16 - x^2} \leq 0 \]

Первым шагом рассмотрим выражение внутри корня, \(16 - x^2\). Это выражение представляет собой разность квадрата, поэтому мы можем его раскрывать:

\[ (3x^2 + 5x - 12)\sqrt{16 - x^2} = (3x^2 + 5x - 12)\sqrt{(4 - x)(4 + x)} \]

Теперь рассмотрим оба множителя в этом произведении:

1. \(3x^2 + 5x - 12\) 2. \(\sqrt{(4 - x)(4 + x)}\)

Теперь рассмотрим каждый множитель отдельно.

1. \(3x^2 + 5x - 12\)

Мы можем попробовать разложить его на множители:

\[ (3x^2 + 5x - 12) = (3x - 4)(x + 3) \]

2. \(\sqrt{(4 - x)(4 + x)}\)

Заметим, что \(4 - x\) и \(4 + x\) - это разность квадратов:

\[ \sqrt{(4 - x)(4 + x)} = \sqrt{(2^2 - x^2)} = \sqrt{(2 - x)(2 + x)} \]

Теперь у нас есть оба множителя в исходном неравенстве:

\[ (3x - 4)(x + 3)\sqrt{(2 - x)(2 + x)} \leq 0 \]

Теперь посмотрим на знак этого произведения. Заметим, что у нас есть корень, и он будет неотрицателен. Таким образом, нам нужно определить знак произведения двух множителей \((3x - 4)\) и \((x + 3)\).

1. \(3x - 4\) - этот множитель меняет знак с положительного на отрицательный при \(x > \frac{4}{3}\). 2. \(x + 3\) - этот множитель меняет знак с положительного на отрицательный при \(x < -3\).

Теперь объединим эти два интервала:

\[ x < -3 \quad \text{и} \quad x > \frac{4}{3} \]

Таким образом, решением неравенства будет:

\[ x \in \left( -\infty, -3 \right] \cup \left[ \frac{4}{3}, \infty \right) \]

Таким образом, неравенство \((3x^2 + 5x - 12)\sqrt{16 - x^2} \leq 0\) верно для всех значений \(x\) в указанных интервалах.