Question

Найдите площадь фигуры ограниченной осью Ох и параболой у=-х^2+2х

Answer 1

$\int\limits^2_0 {-x^2+2x} \, dx =- \frac{x^3}{3} +x^2|_0^2=- \frac{8}{3} +4= 1\frac{1}{3}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной осью Oх и параболой у = -х^2 + 2х, мы должны вычислить определенный интеграл от функции, представляющей эту параболу, на интервале, где фигура расположена.

Определение интервала

Для начала, нам нужно найти точки пересечения параболы с осью Oх. Для этого, мы должны решить уравнение у = -х^2 + 2х = 0.

Выражение -х^2 + 2х = 0 можно факторизовать, получив х(-х + 2) = 0. Таким образом, получим две возможные точки пересечения: х = 0 и х = 2.

Значит, интервал, на котором фигура ограничена, будет от х = 0 до х = 2.

Определение функции и вычисление интеграла

Теперь, когда мы знаем интервал, мы можем определить функцию, представляющую параболу у = -х^2 + 2х.

Площадь фигуры будет равна определенному интегралу от этой функции на интервале х = 0 до х = 2.

Вычислим этот интеграл:

∫[0, 2] (-х^2 + 2х) dx

Для удобства, разобьем этот интеграл на два члена:

∫[0, 2] -х^2 dx + ∫[0, 2] 2х dx

Интегрируя каждый член по отдельности, получим:

[-(х^3)/3] от 0 до 2 + [х^2] от 0 до 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной осью Ох и параболой у = -х^2 + 2х, мы можем использовать метод интегралов.

Определение площади:

Площадь фигуры можно найти, вычислив определенный интеграл функции, описывающей границы фигуры. В данном случае, парабола у = -х^2 + 2х ограничивает фигуру, а ось Ох является нижней границей.

Нахождение точек пересечения:

Для начала, найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Для этого приравняем у = 0 и решим уравнение:

-х^2 + 2х = 0

Факторизуем его:

х(-х + 2) = 0

Получаем два решения:

х = 0 и х = 2

Вычисление площади:

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью Ох, мы должны вычислить определенный интеграл функции y = -х^2 + 2х от точки пересечения х = 0 до х = 2:

S = ∫[0, 2] (-х^2 + 2х) dx

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[0, 2] (-х^2 + 2х) dx = [-х^3/3 + х^2] [0, 2]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

S = (-2^3/3 + 2^2) - (0^3/3 + 0^2)

S = (-8/3 + 4) - (0)

S = (-8/3 + 12/3)

S = 4/3

Ответ:

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой у = -х^2 + 2х, равна 4/3 единицы площади.