Question

Найти предел функции НЕ применяя правило Лопиталя: lim x->2 (3х-5)^(2х/(х^2-4))

Answer 1

____________________________________

Answer 2

Для нахождения предела функции \( \lim_{{x \to 2}} \frac{{(3x-5)^{\frac{{2x}}{{x^2-4}}}}}{{x-2}} \) без применения правила Лопиталя, мы можем воспользоваться алгебраическими преобразованиями. Давайте рассмотрим шаг за шагом:

1. Введем замену переменной, чтобы избежать неопределенностей в знаменателе. Положим \( t = x-2 \), тогда при \( x \to 2 \) также \( t \to 0 \).

2. Выразим новую переменную \( x \) через \( t \): \( x = t + 2 \).

3. Подставим новые переменные в исходное выражение:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{{(3x-5)^{\frac{{2x}}{{x^2-4}}}}}{{x-2}} = \lim_{{t \to 0}} \frac{{(3(t+2)-5)^{\frac{{2(t+2)}}{{(t+2)^2-4}}}}}{{t}} \]

4. Упростим числитель и знаменатель:

\[ = \lim_{{t \to 0}} \frac{{(3t+1)^{\frac{{2(t+2)}}{{t^2}}}}}{{t}} \]

5. Раскроем скобки в числителе:

\[ = \lim_{{t \to 0}} \frac{{(3t+1)^{\frac{{2t+4}}{{t^2}}}}}{{t}} \]

6. Разложим степень в числителе:

\[ = \lim_{{t \to 0}} \frac{{(3t+1)^{\frac{{2t}}{{t^2}}} \cdot (3t+1)^{\frac{4}{{t^2}}}}}{{t}} \]

7. Разделим числитель и знаменатель на \( t \):

\[ = \lim_{{t \to 0}} \frac{{(3t+1)^{\frac{{2t}}{{t^2}}}}}{{1}} \cdot \lim_{{t \to 0}} (3t+1)^{\frac{4}{{t^2}}} \]

8. Первый предел можно упростить, так как \( \frac{{2t}}{{t^2}} = \frac{2}{t} \), и предел становится нулем:

\[ = \lim_{{t \to 0}} 0 \cdot \lim_{{t \to 0}} (3t+1)^{\frac{4}{{t^2}}} \]

9. Первый множитель равен нулю, а второй требует дополнительных усилий. Для решения второго предела воспользуемся замечанием, что \( \lim_{{t \to 0}} (3t+1)^{\frac{4}{{t^2}}} \) — это экспоненциальная форма с бесконечностью в показателе степени, и предел будет равен бесконечности.

Таким образом, исходный предел равен \( 0 \cdot \infty \), что является неопределенным выражением. В данном случае, возможно, потребуется применение более сложных методов или теорем для определения значения предела.