Question

Сума n перших членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою Sn=n(в квадраті)+3n. Знайдіть шостий член цієї прогресії.Прошу допомогти.

Answer 1

$a_6=S_6-S_5;\\S_5=5^2+3*5=40;\\S_6=6^2+3*6=54;\\a_6=54-40=14$

Answer 2

Звісно, давайте розглянемо це питання. Зазначте, що дано формулу для суми перших \(n\) членів арифметичної прогресії:

\[S_n = n^2 + 3n\]

Щоб знайти шостий член цієї прогресії (\(a_6\)), можна скористатися формулою для загального члена арифметичної прогресії:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

де \(a_n\) - n-тий член прогресії, \(a_1\) - перший член прогресії, \(n\) - порядковий номер члена, а \(d\) - різниця між сусідніми членами прогресії.

З формули суми можна визначити значення різниці \(d\), порівнявши її з формулою загального члена:

\[S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\]

У нашому випадку \(S_n = n^2 + 3n\), а \(a_n = a_6\), \(a_1 = a_1\) (перший член прогресії). Порівнюючи ці формули, можна знайти значення \(d\).

\[n^2 + 3n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\]

Підставляючи \(n = 6\) (для знаходження шостого члена), ми можемо розв'язати рівняння для \(d\).

\[6^2 + 3 \cdot 6 = \frac{6}{2}[2a_1 + (6-1)d]\]

\[36 + 18 = 3[2a_1 + 5d]\]

\[54 = 6a_1 + 15d\]

Тепер можемо використати це рівняння, щоб знайти значення \(d\).

\[15d = 54 - 6a_1\]

\[d = \frac{54 - 6a_1}{15}\]

Тепер, коли ми знаємо значення \(d\), можемо використати формулу для загального члена, щоб знайти \(a_6\).

\[a_6 = a_1 + (6-1)d\]

\[a_6 = a_1 + 5d\]

Підставляючи вираз для \(d\), ми отримаємо:

\[a_6 = a_1 + 5 \left( \frac{54 - 6a_1}{15} \right)\]

Тепер вам залишається розв'язати це рівняння відносно \(a_1\), використовуючи вихідну інформацію або додаткові умови, якщо такі є. Якщо у вас є конкретні значення для \(a_1\) або додаткові вказівки, дайте мені знати, і я допоможу вам завершити розв'язок.