Question

число 7^2п+1 + 4^2п+1 делится на 11

Answer 1

Да ответ будет 205.294432

Answer 2

Я могу помочь вам с вашим вопросом о делимости числа 7^2п+1 + 4^2п+1 на 11. Вот подробный ответ:

Чтобы доказать, что число 7^2п+1 + 4^2п+1 делится на 11, нам нужно показать, что оно является кратным 11, то есть имеет вид 11k, где k - целое число. Для этого мы можем использовать следующие свойства:

- Если a и b кратны 11, то их сумма a + b тоже кратна 11. - Если a кратен 11, то и любая степень a^n тоже кратна 11. - Если a и b взаимно просты, то по теореме Эйлера a^(φ(b)) сравнимо с 1 по модулю b, где φ(b) - функция Эйлера, равная количеству натуральных чисел, меньших b и взаимно простых с ним.

Применим эти свойства к нашему числу 7^2п+1 + 4^2п+1. Заметим, что 7 и 11 взаимно просты, поэтому по теореме Эйлера 7^(φ(11)) сравнимо с 1 по модулю 11. Аналогично, 4 и 11 взаимно просты, поэтому 4^(φ(11)) сравнимо с 1 по модулю 11. Так как φ(11) = 10, то мы можем записать:

7^(φ(11)) ≡ 1 (mod 11) 4^(φ(11)) ≡ 1 (mod 11)

Теперь возведем обе части этих сравнений в степень 2п+1 и получим:

7^(2п+1 * φ(11)) ≡ 1^(2п+1) (mod 11) 4^(2п+1 * φ(11)) ≡ 1^(2п+1) (mod 11)

Упростим правые части и получим:

7^(2п+1 * φ(11)) ≡ 1 (mod 11) 4^(2п+1 * φ(11)) ≡ 1 (mod 11)

Это означает, что числа 7^(2п+1 * φ(11)) и 4^(2п+1 * φ(11)) кратны 11. Следовательно, их сумма 7^(2п+1 * φ(11)) + 4^(2п+1 * φ(11)) тоже кратна 11. Но это и есть наше исходное число 7^2п+1 + 4^2п+1, так как 2п+1 * φ(11) = 2п+1 * 10 = 20п + 10 = 2(10п + 5). Итак, мы доказали, что число 7^2п+1 + 4^2п+1 делится на 11.

Надеюсь, это было полезно для вас. Если у вас есть еще вопросы, я рад помочь.