Question

2sin^{2}x + 5cos + 1 = 0[/tex]

Answer 1

$2sin^{2}x + 5cosx + 1 = 0 \\2(1 - cos^{2}x) + 5cosx +1 = 0 \\2 - 2cos^{2}x + 5cosx + 1 = 0 \\ 2cos^{2}x - 5cosx - 3 = 0 \\ cosx = t\ \ \ -1\leq t \leq 1 \\D = 25 +24 = 49 \\t_{1} = \frac{5 + 7}{4}\ \ \ \ t_{2} = \frac{5 - 7}{4} \\t_{1} = 3 \ \ \ \ \ \ \ \ t_{2} = -\frac{1}{2} \\ cosx \neq 3 \\ cosx = -\frac{1}{2} \\ x = +- \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Ответ: $x = +- \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Answer 2

Для решения данного уравнения рассмотрим вначале уравнение вида: 2sin^2(x) + 5cos(x) + 1 = 0

Перепишем это уравнение в терминах одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим соответствующие значения в уравнение: sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + 3cos(x) + 1 = 0

Теперь выразим sin(x) через cos(x) воспользовавшись тригонометрической тождеством: sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) + 2cos(x) + 1 - cos^2(x) = 0

Заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x): 1 - cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) + 2cos(x) + 1 - cos^2(x) = 0

Упростим уравнение: 2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) + 2cos(x) + 2 = 0

Разделим уравнение на 2: cos^2(x) + sin(x)cos(x) + cos(x) + 1 = 0

Вынесем общий множитель из первого и второго слагаемого: cos(x)(cos(x) + sin(x)) + (cos(x) + 1) = 0

Факторизуем: (cos(x) + 1)(cos(x) + sin(x)) = 0

Получили два уравнения: 1) cos(x) + 1 = 0 2) cos(x) + sin(x) = 0

1) При cos(x) + 1 = 0, получаем cos(x) = -1 Это уравнение имеет одно решение: x = π

2) При cos(x) + sin(x) = 0, уравнение не имеет аналитического решения.

Таким образом, решениями исходного уравнения 2sin^2(x) + 5cos(x) + 1 = 0 являются x = π и другое решение, которое мы не смогли аналитически найти.