Question

Решите пожалуйста задачу. В правильной четырех угольной пирамиде угол между высотой и боковыми ребрами равен альфа, сторона основания пирамиды равна А. Вычислите длину бокового ребра пирамиды.

Answer 1

На рисунке угол между высотой равен углу DSO.

Т.к. пирамида правильная, в основании квадрата.

Найдём диогональ квадрата.

$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$ 

Найдём OD:

$OD=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ - по свойству квадрата. 

Рассмотрим треугольник ASD:

$sin\alpha=\frac{OD}{SD}\\SD=\frac{OD}{sin\alpha}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{sin\alpha}=\frac{a\sqrt{2}}{2sin\alpha}$

 

Ответ:$\frac{a\sqrt{2}}{2sin\alpha}$ 

Answer 2

Давайте рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду. Пусть \(ABCD\) - её основание, а \(E\) - вершина. Соединим вершину \(E\) с серединой ребра основания \(M\) (точка пересечения диагоналей основания). Также, обозначим через \(O\) центр основания, который совпадает с центром описанной окружности вокруг основания.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \(EMO\), где \(EO\) - высота, а \(EM\) и \(OM\) - половины длины диагоналей основания. Поскольку это прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрию.

Обозначим угол между высотой \(EO\) и боковым ребром пирамиды через \(\alpha\). Также, пусть \(OM = \frac{A}{2}\) (половина длины стороны основания).

Тогда, \(\tan(\alpha) = \frac{EO}{OM}\).

Мы также знаем, что \(EO\) - высота пирамиды, а это в точности радиус описанной окружности вокруг основания. Таким образом, \(EO\) равно радиусу описанной окружности \(r\).

Теперь, у нас есть следующее уравнение:

\[\tan(\alpha) = \frac{r}{\frac{A}{2}}\]

Отсюда можем выразить радиус описанной окружности:

\[r = \frac{A}{2 \tan(\alpha)}\]

Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике \(EMO\), получаем:

\[EM^2 = EO^2 + OM^2\]

\[\left(\frac{A}{2 \tan(\alpha)}\right)^2 = EO^2 + \left(\frac{A}{2}\right)^2\]

Решая это уравнение относительно \(EO\) (высоты пирамиды), получаем:

\[EO = \frac{A}{2 \tan(\alpha)}\]

Теперь, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике \(EAB\), где \(EA\) - боковое ребро пирамиды:

\[EA^2 = EO^2 + OA^2\]

\[\left(\frac{A}{2 \tan(\alpha)}\right)^2 + EA^2 = \left(\frac{A}{2}\right)^2\]

Решая это уравнение относительно \(EA\) (бокового ребра), получаем:

\[EA = \sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 - \left(\frac{A}{2 \tan(\alpha)}\right)^2}\]

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна:

\[EA = \frac{A}{2} \sqrt{1 - \frac{1}{\tan^2(\alpha)}}\]

Это и есть ответ.