Question

Найти первоначальную функции f(x) = 4x^3 - 4x + 5, график которой проходит через точку A (1; 6).

Answer 1

$\int\limits {(4x^3-4x+5)} \, dx = \frac{4x^4}{4}- \frac{4x^2}{2}+5x+C=x^4-2x^2+5x+C \\ \\ y=x^4-2x^2+5x+C \\ 6=1^4-2*1^2+5*1+C \\ 6=4+C \\ C=2 \\ \\ y=x^4-2x^2+5x+2$

Answer 2

Чтобы найти первоначальную функцию \( f(x) \), график которой проходит через точку \( A (1, 6) \), нужно использовать информацию о производных функции.

Итак, дана функция \( f(x) = 4x^3 - 4x + 5 \). Давайте найдем производную этой функции:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x + 5) \]

Производная по отношению к \( x \) будет:

\[ f'(x) = 12x^2 - 4 \]

Теперь мы имеем уравнение для производной. Чтобы найти первоначальную функцию, мы будем интегрировать это уравнение. Интегрируем по \( x \):

\[ \int (12x^2 - 4) \, dx \]

Интегрирование дает нам:

\[ 4x^3 - 4x + C \]

где \( C \) - константа интегрирования.

Теперь, чтобы определить значение константы \( C \), мы можем использовать информацию о точке \( A (1, 6) \), через которую проходит график. Подставим \( x = 1 \) и \( f(x) = 6 \) в выражение:

\[ 4(1)^3 - 4(1) + C = 6 \]

Упростим:

\[ 4 - 4 + C = 6 \]

\[ C = 6 \]

Таким образом, первоначальная функция \( f(x) \), график которой проходит через точку \( A (1, 6) \), равна:

\[ f(x) = 4x^3 - 4x + 5 + 6 \]

\[ f(x) = 4x^3 - 4x + 11 \]