Question

Сотку кину тому, кто решит.cos2x=1-cos((π/2)-x)

Answer 1

$cos2x-1=-sin\ x$
$-2sin^2x=-sin\ x$
$2sin^2x-sin\ x=0$
$sin\ x(2sin\ x-1)=0$
sin x = 0 или $sin\ x= \frac{1}{2}$
$x= \pi k$ или $x=(-1)^k \frac{ \pi }{6} + \pi k,\ k \in Z$

Answer 2

Sin 3x + Sin 5x = 2(Cos² 2x - Sin² 3x) 

Для левой части ур-ия применим формулу суммы синусов: 
Sin x + Sin y = 2Sin ((x + y)/2) · Cos ((x - y)/2) 
А для правой части формулы понижения степени: 
Cos² x = (1 + Cos 2x) / 2 
Sin² x = (1 - Cos 2x) / 2 

То есть: 
2Sin 4x · Cos x = 2 · ((1 + Cos 4x)/2 - (1 - Cos 6x)/2)) 

2Sin 4x · Cos x = 1 + Cos 4x - 1 + Cos 6x 

2Sin 4x · Cos x = Cos 4x + Cos 6x 

Для правой части ур-ия применим формулу суммы косинусов: 
Cos x + Cos y = 2Cos ((x + y)/2) · Cos ((x - y)/2) 

2Sin 4x · Cos x = 2Cos 5x * Cos x 

2Sin 4x · Cos x - 2Cos 5x * Cos x = 0 

Выносим общий множитель 2Cos x: 
2Cos x · (Sin 4x - Cos 5x) = 0 

Отсюда: 
Cos x = 0 ⇒ x = ±π/2 + 2πk, k — целое 

Sin 4x - Cos 5x = 0 

Cos (π/2 - 4x) - Cos (5x) = 0 

Применяем формулу разности косинусов: 
Cos x - Cos y = -2Sin ((x + y)/2) · Sin ((x - y)/2) 

То есть: 
-2Sin ((π/2 + x)/2) · Sin ((π/2 - 9x)/2) = 0 

1) Sin ((π/2 + x)/2) = 0 
(π/2 + x)/2 = πk 
π/2 + x = 2πk 
x = -π/2 + 2πk 

2) Sin ((π/2 - 9x)/2) = 0 
(π/2 - 9x)/2 = πk 
π/2 - 9x = 2πk 
9x = π/2 - 2πk 
x = π/18 - 2π/(9k) 

Ответ: 
x = ±π/2 + 2πk, k — целое 
x = π/18 - 2π/(9k)

Answer 3

Давайте решим уравнение cos(2x) = 1 - cos(π/2 - x) подробно.

Начнем с правой стороны уравнения. Используем формулу косинуса разности для cos(π/2 - x):

cos(π/2 - x) = cos(π/2) * cos(x) + sin(π/2) * sin(x) = 0 * cos(x) + 1 * sin(x) = sin(x)

Теперь заменим правую сторону уравнения на sin(x):

cos(2x) = 1 - sin(x)

Для решения уравнения, давайте приведем его к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию. Используем формулу двойного угла для косинуса:

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Теперь заменим cos(2x) на 1 - 2sin^2(x):

1 - 2sin^2(x) = 1 - sin(x)

Теперь приведем все слагаемые в уравнении на одну сторону:

2sin^2(x) - sin(x) = 0

Уравнение стало квадратным, поэтому давайте приведем его к стандартному виду и решим:

2sin^2(x) - sin(x) = 0

Давайте факторизуем уравнение:

sin(x)(2sin(x) - 1) = 0

Теперь решим каждый множитель отдельно:

sin(x) = 0 или 2sin(x) - 1 = 0

1) Решим sin(x) = 0:

x = 0 + kπ, где k - целое число.

2) Решим 2sin(x) - 1 = 0:

2sin(x) = 1

sin(x) = 1/2

x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения cos(2x) = 1 - cos(π/2 - x) будет:

x = 0 + kπ, где k - целое число, или x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.