Question

1)Сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна 64, а разность между 8-м и 3-м членами равна 10. Найти пятый член прогрессии. 2) Найти сумму всех натуральных чисел,каждое из которых кратное 11 и не превосходит по величине 1000. 3) Найти восьмой член геометрической прогрессии, если b4=200, q=0,1

Answer 1

  S8=2a1+d(8-1)/2*8=(2a1+7d)*4=64
 a8=a1+7d
 a3=a1+2d  => a8-a3=5d=10  d=2  
  64 =(2a1+7*2)*4  (/4)  16=2a1+14  2a1=16-14  2a1=2  a1=1
 a5=a1+4d=1+4*2=9
3)  b4=200 q=0.1  b8=b1*q^7
  b4=b1*q^3  200=b1*0.1^3  b1=200/0.1^3=200*1000=2*10^5
  b8=2*10^5*0.1^7=1*10^5*10^-7=2*10^-2=2/100=0.02 
2) a1=11 d=11  Sn=2a1+d(n-1)/2*n  Sn=1000 =>  2000=22+11(n-1)*n  2000-22=11n^2-11n
11n^2-11n-1978=0  d=121+4*11*1978=87153  VD=295  n=11+295/22=13
 корень приблизительно  и nберем целую часть

Answer 2

Давайте решим каждую из задач по очереди.

1) Арифметическая прогрессия:

Для арифметической прогрессии сумма первых восьми членов равна 64, а разность между восьмым и третьим членами равна 10.

Обозначим первый член арифметической прогрессии через \(a\), а разность между членами через \(d\).

Сумма первых восьми членов:

\[ S_8 = \frac{8}{2} [2a + (8-1)d] = 4[2a + 7d] = 64 \]

Также, разность между восьмым и третьим членами:

\[ a_8 - a_3 = 10 \]

Теперь решим эту систему уравнений. Выразим \(a\) и \(d\) из уравнений:

\[ 2a + 7d = 16 \]

\[ a + 5d = 10 \]

Решив систему, найдем, что \(a = 3\) и \(d = 2\).

Теперь, чтобы найти пятый член прогрессии (\(a_5\)), используем формулу:

\[ a_5 = a + 4d \]

Подставим значения \(a\) и \(d\):

\[ a_5 = 3 + 4 \times 2 = 11 \]

Таким образом, пятый член арифметической прогрессии равен 11.

2) Сумма кратных 11 чисел:

Найдем количество членов арифметической последовательности, каждый из которых кратен 11 и не превосходит 1000. Это можно сделать, разделив 1000 на 11:

\[ n = \frac{1000}{11} \]

Теперь используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[ S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]

где \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - последний член.

\[ S = \frac{n}{2}(11 + a_n) \]

Теперь найдем последний член \(a_n\) (максимальное кратное 11 число, не превосходящее 1000):

\[ a_n = 11 \times 90 = 990 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ S = \frac{90}{2}(11 + 990) = \frac{90}{2} \times 1001 = 45 \times 1001 = 45045 \]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 11 и не превосходящих 1000, равна 45045.

3) Геометрическая прогрессия:

Для геометрической прогрессии мы знаем, что \(b_4 = 200\) и \(q = 0.1\).

Формула для \(b_n\) в геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \times q^{(n-1)} \]

Таким образом, мы можем выразить восьмой член (\(b_8\)) через четвертый (\(b_4\)) и \(q\):

\[ b_8 = b_4 \times q^{(8-4)} \]

\[ b_8 = 200 \times 0.1^4 \]

\[ b_8 = 200 \times 0.0001 \]

\[ b_8 = 0.02 \]

Таким образом, восьмой член геометрической прогрессии равен 0.02.