Question

Неуспеваю решить ( помогите пожалуйста Sin^2 6x+8sin^2 3x=0

Answer 1

Любое число в квадрате больше либо равно 0. Значит, если сумма двух квадратов равно 0, то оба числа равны 0.
ТО есть, sin 6x = 0 и sin3x = 0.
6x = pi*n и 3x = pi*k где n и k - целые
x = pi*n / 6 и x = pi*k / 3
pi*n/6 = pi*k/3
n/2 = k
n = 2*k 
То есть решения с n принадлежат решениям с k.
Ответ: x = pi*n/6, где n - целое.

Answer 2

Решение было с ошибкой, нужно удалить. Выше - верное

Answer 3

Конечно, давайте решим уравнение подробно:

\[ \sin^2(6x) + 8\sin^2(3x) = 0 \]

Для удобства решения введем новую переменную, скажем, \( u = \sin(3x) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ \sin^2(2u) + 8u^2 = 0 \]

Теперь мы можем использовать тригонометрический тождество \(\sin^2(2u) = 1 - \cos^2(2u)\):

\[ 1 - \cos^2(2u) + 8u^2 = 0 \]

Перегруппируем слагаемые:

\[ \cos^2(2u) = 1 + 8u^2 \]

Теперь выразим \(\cos(2u)\) через \(u\):

\[ \cos(2u) = \pm\sqrt{1 + 8u^2} \]

Также мы знаем, что \( \cos(2u) = \cos^2(u) - \sin^2(u) = 1 - 2\sin^2(u) \). Подставим это выражение:

\[ 1 - 2\sin^2(u) = \pm\sqrt{1 + 8u^2} \]

Перегруппируем слагаемые:

\[ 2\sin^2(u) + \sqrt{1 + 8u^2} = 1 \quad \text{или} \quad 2\sin^2(u) - \sqrt{1 + 8u^2} = 1 \]

Рассмотрим первое уравнение:

\[ 2\sin^2(u) + \sqrt{1 + 8u^2} = 1 \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ \sin^2(u) + \frac{\sqrt{1 + 8u^2}}{2} = \frac{1}{2} \]

Выразим \(\sin^2(u)\):

\[ \sin^2(u) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{1 + 8u^2}}{2} \]

Теперь решим это уравнение для \(u\).

\[ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{1 + 8u^2}}{2} \geq 0 \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 1 - \sqrt{1 + 8u^2} \geq 0 \]

Добавим \(\sqrt{1 + 8u^2}\) к обеим сторонам:

\[ 1 \geq \sqrt{1 + 8u^2} \]

Возводим в квадрат:

\[ 1 \geq 1 + 8u^2 \]

Вычитаем 1:

\[ 0 \geq 8u^2 \]

Так как квадрат неотрицателен, это уравнение выполняется только при \(u = 0\).

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\[ 2\sin^2(u) - \sqrt{1 + 8u^2} = 1 \]

Решим его аналогичным образом:

\[ \sin^2(u) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 8u^2}}{2} \]

Теперь у нас есть два возможных значения для \(\sin(u)\):

\[ \sin(u) = \pm\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{1 + 8u^2}}{2}} \]

и

\[ \sin(u) = \pm\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1 + 8u^2}}{2}} \]

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной \(x\), используя \(u = \sin(3x)\). Таким образом, решение исходного уравнения будет зависеть от значений \(u\), которые мы нашли.