Question

доказать тождество cos(a-b)*cos(a+b)=cos^2(a)-sin^2(b)

Answer 1

 начала вспомним формулы понижения степени : 
sin^2(t) = (1 - cos(2t)) / 2 
cos^2(t) = (1 + cos(2t)) / 2 
Теперь для нашего примера получаем : 
(1 + cos(2a - 2b)) / 2 - (1 + cos(2a + 2b)) / 2 = 

Далее применим тригонометрические формулы сложения, в данном случае это 
cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β 
cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β 

= [1 + cos(2a) * cos(2b) + sin(2a) * sin(2b) - 1 + cos(2a) * cos(2b) - sin(2a) * sin(2b) ] /2 = 
= cos(2a) * cos(2b)

Answer 2

Для доказательства тождества cos(a-b)*cos(a+b) = cos^2(a)-sin^2(b), мы воспользуемся формулами для косинуса суммы и разности углов:

cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)

Заменим в исходном тождестве значения cos(a-b) и cos(a+b) с использованием данных формул:

cos(a-b)*cos(a+b) = (cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)) * (cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b))

Раскроем скобки:

= cos^2(a)*cos^2(b) - sin^2(a)*sin^2(b)

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла:

sin^2(b) = (1 - cos(2b))/2

Подставим эту формулу в наше выражение:

= cos^2(a)*cos^2(b) - sin^2(a)*(1 - cos(2b))/2

Теперь воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

cos(2b) = cos^2(b) - sin^2(b)

Подставим ее в наше выражение:

= cos^2(a)*cos^2(b) - sin^2(a)*(1 - (cos^2(b) - sin^2(b)))/2

Раскроем скобки:

= cos^2(a)*cos^2(b) - sin^2(a)*(cos^2(b) - sin^2(b))/2

Общий знаменатель и знаки минус можно вынести за скобки:

= (cos^2(a)*cos^2(b) - sin^2(a)*cos^2(b) + sin^2(a)*sin^2(b))/2

А это уже квадраты синуса и косинуса:

= (cos^2(a)-sin^2(a))*(cos^2(b)-sin^2(b))/2

Теперь вспомним, что cos^2(a) - sin^2(a) = cos(2a), и мы получаем:

= cos(2a)*cos(2b)/2

Используем формулу для косинуса суммы углов:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)

= cos(2a + 2b)/2

И наконец, воспользуемся формулой для удвоенного угла:

cos(2c) = 2*cos^2(c) - 1

Подставим это выражение в наше:

= (2*cos^2(2a + 2b))/2 - 1

= cos^2(2a + 2b) - 1

Итак, мы доказали, что cos(a-b)*cos(a+b) = cos^2(a)-sin^2(b) равносильно cos^2(2a + 2b) - 1.