Question

Найти наибольшее значение функции у=-х^2+5. Укажите интервалы монотонности и четности данной функции.

Answer 1

-х²≤0, -х²+5≤5, 5 -- наибольшее значение
(-∞; 0) промежуток возрастания
(0; +∞) промежуток убывания
у(-х)=-(-х)²+5=-х²+5=у(х), у -- чётная

Answer 2

Для того чтобы найти наибольшее значение функции \( y = -x^2 + 5 \), нужно определить точку экстремума. Это можно сделать, найдя производную функции и приравняв её к нулю:

1. Найдем производную функции \( y = -x^2 + 5 \): \[ y' = -2x \]

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[ -2x = 0 \] \[ x = 0 \]

Таким образом, точка \( x = 0 \) является точкой экстремума.

3. Чтобы определить, является ли точка минимумом или максимумом, можно воспользоваться второй производной. Если вторая производная положительна в точке, то это минимум, а если отрицательна, то максимум.

4. Найдем вторую производную: \[ y'' = -2 \]

5. Определим знак второй производной в точке \( x = 0 \): \[ y''(0) = -2 \] Вторая производная отрицательна, следовательно, точка \( x = 0 \) является точкой максимума функции.

Теперь найдем значение функции в точке максимума: \[ y(0) = -0^2 + 5 = 5 \]

Таким образом, наибольшее значение функции \( y = -x^2 + 5 \) равно 5 и достигается при \( x = 0 \).

Теперь рассмотрим интервалы монотонности и четности функции:

1. Интервалы монотонности: - Функция \( y = -x^2 + 5 \) является параболой с вершиной вниз. - Она убывает на интервале \((-\infty, 0)\) и возрастает на интервале \((0, +\infty)\).

2. Четность функции: - Функция \( y = -x^2 + 5 \) не является четной, так как \( f(-x) \) не равно \( f(x) \). - Она также не является нечетной, так как \( f(-x) \) не равно \(-f(x)\).

Итак, функция не обладает ни четностью, ни нечетностью. Она является общей параболой, симметричной относительно вертикальной оси \(x\).