Question

Решить дифференциальное уравнение(Ax²+2Bxy+Сy²)dx+(Bx²+2Cxy+Dy²)dy=0.A=14,B=7,C=2,D=-2

Answer 1

Исходное уравнение является дифф. уравнением в полных дифференциалах,

так как частная производная выражения в левой скобке по y равна частной производной выражение во второй скобке по x.

   Общий интеграл таких дифф. уравнений вычисляется по стандартной формуле и равен:

(int(0,x))m(x,y)dx + (int(0,y))n(x=0,y)dy  (где: m(x,y) - выр-е в левой скобке;

n(x,y) - выражение в правой скобке )

В даном случае ( с учетом подстановки значений для A,B,C,D) ответ таков:

(14/3)*x^3+7*x^2*y+2*y^2*x-(2/3)*y^3=C;

 

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, которое является уравнением в полных дифференциалах, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Однако, прежде чем начать, давайте уточним уравнение, так как в вашем вопросе ошибка в записи. Предположим, что у вас есть уравнение:

\[ (Ax^2 + 2Bxy + Cy^2)dx + (Bx^2 + 2Cxy + Dy^2)dy = 0 \]

где \( A = 14 \), \( B = 7 \), \( C = 2 \), \( D = -2 \).

Теперь, чтобы решить это уравнение, представим его в виде полного дифференциала \( Mdx + Ndy = 0 \), где \( M \) и \( N \) - частные производные по \( x \) и \( y \) соответственно.

\[ M = Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 \]

\[ N = Bx^2 + 2Cxy + Dy^2 \]

Теперь вычислим частные производные \( M \) и \( N \) по \( y \) и \( x \):

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = 2Bx + 2Cy \]

\[ \frac{\partial N}{\partial x} = 2Bx + 2Cy \]

Таким образом, мы видим, что \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\), что означает, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Теперь найдем функцию \( u(x, y) \), такую, что \( du = Mdx + Ndy \). Интегрируя \( M \) по \( x \) и \( N \) по \( y \), получим:

\[ u(x, y) = \int (Ax^2 + 2Bxy + Cy^2)dx + \int (Bx^2 + 2Cxy + Dy^2)dy \]

\[ = \frac{1}{3}Ax^3 + Bx^2y + \frac{1}{3}Cy^3 + f_1(y) + \frac{1}{3}Dy^3 + f_2(x) \]

где \( f_1(y) \) и \( f_2(x) \) - произвольные функции, зависящие только от \( y \) и \( x \) соответственно.

Теперь найдем частные производные \( u \) по \( x \) и \( y \):

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = Ax^2 + 2Bxy + f_2'(x) \]

\[ \frac{\partial u}{\partial y} = Bx^2 + Cy^2 + f_1'(y) + Dy^2 \]

Теперь сравним эти выражения с \( M \) и \( N \):

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = M \Rightarrow f_2'(x) = 0 \Rightarrow f_2(x) = C_1 \]

\[ \frac{\partial u}{\partial y} = N \Rightarrow f_1'(y) = 0 \Rightarrow f_1(y) = C_2 \]

Таким образом, функция \( u(x, y) \) равна:

\[ u(x, y) = \frac{1}{3}Ax^3 + Bx^2y + \frac{1}{3}Cy^3 + C_2 + \frac{1}{3}Dy^3 + C_1 \]

Теперь уравнение в полных дифференциалах записывается как:

\[ \frac{1}{3}Ax^3 + Bx^2y + \frac{1}{3}Cy^3 + C_2 + \frac{1}{3}Dy^3 + C_1 = C \]

где \( C \) - константа интегрирования.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.