Question

Сократите дробь: m√m+n√n+m√n+n√m / m√m-n√n+m√n-n√m

Answer 1

M√m+n√n+m√n+n√m / m√m-n√n+m√n-n√m
m√m+m√n / m√m+m√n=1

Answer 2

Для удобства обозначим выражение m√m+n√n+m√n+n√m как A и выражение m√m-n√n+m√n-n√m как B.

Чтобы сократить дробь A/B, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное дополнение знаменателя, то есть на B.

A * B = (m√m+n√n+m√n+n√m) * (m√m-n√n+m√n-n√m)

Раскроем скобки:

A * B = m√m * m√m + m√m * (-n√n) + m√m * m√n + m√m * (-n√m) + n√n * m√m + n√n * (-n√n) + n√n * m√n + n√n * (-n√m) + m√n * m√m + m√n * (-n√n) + m√n * m√n + m√n * (-n√m) + n√m * m√m + n√m * (-n√n) + n√m * m√n + n√m * (-n√m)

Сгруппируем слагаемые по двум категориям:

Члены со знаком "+" (вынесем за скобки) m√m * m√m + m√n * n√m + n√m * m√n + n√n * n√n

Члены со знаком "-" (вынесем за скобки) - m√m * n√n - n√n * m√m - n√m * n√m - m√n * n√m

Заметим, что у нас есть возможность применить одно из свойств корней, а именно √a * √b = √ab. Применим это свойство к соответствующим членам:

Члены со знаком "+" m√m * m√m + m√n * n√m + n√m * m√n + n√n * n√n = m^2 + mn + mn + n^2 = m^2 + 2mn + n^2

Члены со знаком "-" - m√m * n√n - n√n * m√m - n√m * n√m - m√n * n√m = - mn - mn - mn - mn = - 4mn

Теперь рассмотрим числитель и знаменатель нашей дроби после этого преобразования.

Числитель: m^2 + 2mn + n^2 - 4mn = m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2

Знаменатель: - 4mn = -4 * m * n = -4mn

Итак, после сокращения наше выражение становится равным:

(m - n)^2 / -4mn