Question

найдите такое натуральное значение параметра p, при котором во множестве решений неравенства (x-8)(p+x)<=0 содержатся: а) десять целых чисел; б) два отрицательных целых числа; в) четыре целых не положительных числа; г) только положительные целые числа.

Answer 1

(x-8)(p+x)≤0, p∈N,

x^2+(p-8)x-8p≤0,

a=1>0,

x^2+(p-8)x-8p=0,

D=(p-8)^2-4*(-8p)=(p+8)^2>0,

x_1=(-(p-8)-(p+8))/2=-p,

x_2=(-(p-8)+(p+8))/2=8,

-p≤x≤8, x∈[-p;8];

a) x_2=x_1+9,

-p+9=8,

p=1,

-1≤x≤8, x∈[-1;8]; /-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

б) -3<x_1≤-2,

-3<-p≤-2,

2≤p<3,

p=2,

-2≤x≤8, x∈[-2;8]; /-2, -1

в) -4<x_1≤-3,

-4<-p≤-3,

3≤p<4,

p=3,

-3≤x≤8, x∈[-3;8]; /-3, -2, -1, 0

г) x_1>0,

-p>0,

p<0, p∉N

Answer 2

Для решения данного неравенства, $(x-8)(p+x) \leq 0$, мы можем использовать метод интервалов и знаков.

Метод интервалов и знаков

1. Найдем точки разрыва, где выражение $(x-8)(p+x)$ обращается в ноль. Это происходит, когда $x-8=0$ или $p+x=0$. Решая эти уравнения, получаем $x=8$ и $x=-p$ соответственно.

2. Разобъем ось чисел на интервалы, используя найденные точки разрыва. Интервалы будут выглядеть следующим образом: - Для $x < -p$, выражение $(x-8)(p+x)$ будет отрицательным, так как оба множителя будут отрицательными. - Для $-p < x < 8$, выражение $(x-8)(p+x)$ будет положительным, так как первый множитель $(x-8)$ будет отрицательным, а второй множитель $(p+x)$ будет положительным. - Для $x > 8$, выражение $(x-8)(p+x)$ снова будет отрицательным, так как оба множителя будут положительными.

3. Теперь рассмотрим каждый из интервалов: - Для $x < -p$, неравенство $(x-8)(p+x) \leq 0$ выполняется при отрицательном $p$. Это означает, что в этом интервале решений содержатся только отрицательные целые числа ($x$).

- Для $-p < x < 8$, неравенство $(x-8)(p+x) \leq 0$ выполняется при положительном $p$. Это означает, что в этом интервале решений содержатся положительные целые числа ($x$).

- Для $x > 8$, неравенство $(x-8)(p+x) \leq 0$ выполняется при отрицательном $p$. Это означает, что в этом интервале решений также содержатся только отрицательные целые числа ($x$).

Ответы

Таким образом, отвечая на ваш вопрос:

а) Для решения неравенства $(x-8)(p+x) \leq 0$, содержащего десять целых чисел, нужно выбрать отрицательное значение параметра $p$, чтобы попасть в интервал $x < -p$.

б) Для решения неравенства $(x-8)(p+x) \leq 0$, содержащего два отрицательных целых числа, нужно выбрать отрицательное значение параметра $p$, чтобы попасть в интервал $x < -p$.

в) Для решения неравенства $(x-8)(p+x) \leq 0$, содержащего четыре целых не положительных числа, нужно выбрать отрицательное значение параметра $p$, чтобы попасть в интервал $x < -p$.

г) Для решения неравенства $(x-8)(p+x) \leq 0$, содержащего только положительные целые числа, нужно выбрать положительное значение параметра $p$, чтобы попасть в интервал $-p < x < 8$.

Пожалуйста, обратите внимание, что эти ответы предполагают, что мы ищем только целочисленные решения.