Question

Постройте график функции y=4x-x^2Найдите:а)наим.и наиб.значения функции на отрезке [0;3]б)промежутки возрастания и убывания функциив)решения неравенства 4х2-х2 < 0

Answer 1

график во вложении, в в) непонятно 4x во второй степени или умноженное на 2 и -x во второй степени или умноженное на 2

Answer 2

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке [0;3] необходимо найти экстремумы функции и значения функции на концах отрезка.

Для начала, найдем экстремумы функции. Для этого найдем производную функции y = 4x - x^2:

y' = 4 - 2x

Производная равна нулю, когда 4 - 2x = 0. Решим уравнение:

4 - 2x = 0 -2x = -4 x = 2

Таким образом, точка x = 2 является стационарной точкой функции.

Остается проверить значения функции на концах отрезка. Подставим x = 0 и x = 3 в исходную функцию:

y(0) = 4*0 - 0^2 = 0 y(3) = 4*3 - 3^2 = 12 - 9 = 3

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [0;3] равно 0, а наибольшее значение равно 3.

б) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо проанализировать знак производной функции.

Из предыдущего пункта мы уже знаем производную функции: y' = 4 - 2x.

Теперь найдем значения x, для которых производная равна нулю:

4 - 2x = 0 -2x = -4 x = 2

Таким образом, точка x = 2 является точкой перегиба функции.

Исходя из знаков производной и точки перегиба, можно построить таблицу признаков для определения промежутков возрастания и убывания функции:

x < 2 | x = 2 | x > 2 ------------------------ y' < 0 | y' не определена | y' > 0 ------------------------ Функция убывает | - | Функция возрастает

Таким образом, функция убывает на промежутке (0, 2) и возрастает на промежутке (2, 3).

в) Для решения неравенства 4x^2 - х^2 < 0, вынесем общий множитель:

(4 - 1)x^2 < 0

Получаем:

3x^2 < 0

Это неравенство верно для всех x, кроме x = 0.

Таким образом, решение неравенства 4x^2 - х^2 < 0 это множество всех значений x, кроме x = 0.