Question

Помогите пожалуйста решить тригонометрическое уравнение Sinx+cosx=√2sin5x

Answer 1

Решение в приложенном листке ============>>

Answer 2

Конечно, давайте решим тригонометрическое уравнение \( \sin(x) \cos(x) = \sqrt{2} \sin(5x) \). Для упрощения задачи, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Начнем с того, что заметим, что у нас есть произведение \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) на одной стороне и \(\sin(5x)\) на другой. Мы можем воспользоваться формулой двойного угла для синуса, чтобы преобразовать \(\sin(5x)\) в выражение, содержащее \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\).

Формула двойного угла для синуса: \[ \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) \]

Применим эту формулу, чтобы заменить \(\sin(5x)\): \[ \sin(5x) = \sin(4x + x) = \sin(4x)\cos(x) + \sin(x)\cos(4x) \]

Теперь у нас уравнение примет вид: \[ \sin(x)\cos(x) = \sqrt{2} (\sin(4x)\cos(x) + \sin(x)\cos(4x)) \]

Теперь давайте преобразуем это уравнение, чтобы оно содержало только одно тригонометрическое выражение. Для этого мы можем использовать формулы для синуса и косинуса двойного угла.

Формулы для синуса и косинуса двойного угла: \[ \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) \] \[ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) \]

Применим эти формулы: \[ \sin(x)\cos(x) = \sqrt{2} (\sin(4x)\cos(x) + \sin(x)(\cos^2(2x) - \sin^2(2x))) \]

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\). Решение этого уравнения может потребовать использования дополнительных тригонометрических тождеств, численных методов или графического метода.