Question

На столе лежит 90 монет. Из них 45 монет лежат орлом вверх, а 45 решкой вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые 4 монеты. Можно ли , повторяя эту операцию добиться того, чтобы все монеты лежали орлом вверх?

Answer 1

Нет.
Если перевернуть 4 монеты - будет чётное число перевёрнутых монет
Если перевернуть 3 монеты в одну сторону и 1 — в другую, то 3-1 = 2 = чётное число перевёрнутых монет.
Если перевернуть 2 монеты в одну сторону, и 2 — в другую, то ничего не изменится.

То есть при любом варианте будет изменено чётное количество монет и сумма таких переворотов тоже даст чётное число, а 45 — нечётное число.

Answer 2

Да, можно добиться того, чтобы все монеты лежали орлом вверх, выполняя следующую последовательность действий:

1. Перевернуть любые 4 монеты, которые лежат решкой вверх. 2. Теперь у вас будет 45 монет, лежащих орлом вверх, и 41 монета, лежащая решкой вверх. 3. Затем перевернуть любые 4 монеты, которые лежат орлом вверх. 4. Теперь у вас будет 41 монета, лежащая орлом вверх, и 45 монет, лежащих решкой вверх. 5. Повторять эти действия, пока все монеты не окажутся орлом вверх.

На каждом этапе вы меняете положение 4 монет, что позволяет вам пошагово перевернуть все монеты, чтобы они лежали орлом вверх.